1、第4讲数列求和最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d.等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和
2、公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2.常见的裂项公式(1).(2).(3).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式
3、是an.()解析(3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P38A改编)等差数列an中，已知公差d，且a1a3a9950，则a2a4a100()A.50 B.75 C.100 D.125解析a2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d505075.答案B3.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A.2nn21 B.2n1n21C.2n1n22 D.2nn2解析Sn2n12n2.答案C4.(必修5P38T8改编)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经
4、过的路程是()A.100200(129) B.100100(129)C.200(129) D.100(129)解析第10次着地时，经过的路程为1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129).答案A5.(必修5P61A4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0且x1).解析设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.答案6.(2017嵊州模拟)“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列an中，a11，a21，an2an1an(nN*)则a7_；若a2 018m，则数列an的
5、前2 016项和是_(用m表示).解析a11，a21，an2an1an(nN*)，a3112，同理可得：a43，a55，a68，则a713.a11，a21，anan1an2(nN*)，a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，a2 015a2 016a2 017a2 016a2 017a2 018.以上累加得，a12a22a32a42a2 016a2 017a3a4a2 018，a1a2a3a4a2 016a2 018a2m1.答案13m1考点一分组转化法求和【例1】 (2016天津卷)已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*，
6、bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由题意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为1的等差数列.设数列(1)nb的前n项和为Tn，则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.规律方法(1)若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和.(2)若数列cn的通项公式为cn其中数列an，bn是等比数
7、列或等差数列，可采用分组求和法求an的前n项和.【训练1】 (1)数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()A.n21 B.2n2n1C.n21 D.n2n1(2)(2017杭州七校联考)数列an的通项公式anncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于()A.1 008 B.2 016 C.504 D.0解析(1)该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.(2)a1cos 0，a22 cos 2，a30，a44，.所以数列an的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为2，4，6，8，2 014，2 016.故S2 0160(2
8、4)(68)(2 0142 016)1 008.答案(1)A(2)A考点二裂项相消法求和【例2】 (2015全国卷)Sn为数列an的前n项和.已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和.解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an).由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.规律方法(1
9、)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和为Tn.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)由(1)得Snna1dn(n2)，bn.Tnb1b2bn1bn.考点三错位相减法求和【例3】 (2016山东卷)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1
10、)求数列bn的通项公式；(2)令cn.求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式.所以an6n5.设数列bn的公差为d，由即可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn.得Tn3222323(n1)2n1.2Tn3223324(n1)2n2.两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后
11、作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.解(1)方程x25x60的两根为2，3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.思想方法非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通
12、项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.易错防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为()A.120 B.70 C.75 D.100解析因为n2，所以的前10项和为10375.答案C2.(2017杭州调研
13、)数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A.9 B.8 C.17 D.16解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案A3.数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A.200 B.200 C.400 D.400解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.答案B4.(2017高安中学模拟)已知数列5，6，1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于()A.
14、5 B.6 C.7 D.16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，5，6，1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为561(5)(6)(1)0.又因为16264，所以这个数列的前16项之和S162077.故选C.答案C5.已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 016()A.22 0161 B.321 0083C.321 0081 D.321 0072解析a11，a22，又2.2.a1，a3，a5，成等比数列；a2，a4，a6，成等比数列，S2 016a1a2a3a4a5a6a2 015a2 016(a1a3a5a2 015
15、)(a2a4a6a2 016)321 0083.故选B.答案B二、填空题6.(2017嘉兴一中检测)有穷数列1，12，124，1242n1所有项的和为_.解析由题意知所求数列的通项为2n1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为n2n12n.答案2n12n7.(2016宝鸡模拟)数列an满足anan1(nN*)，且a11，Sn是数列an的前n项和，则S21_.解析由anan1an1an2，an2an，则a1a3a5a21，a2a4a6a20，S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21)1106.答案68.(2017安阳二模)已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qana
16、n1(n2)且b1a2，则|b1|b2|b3|bn|_.解析由已知得b1a23，q4，bn(3)(4)n1，|bn|34n1，即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列，|b1|b2|bn|4n1.答案4n1三、解答题9.(2016北京卷)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由得bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.ana1(n1)d1(n1)22n1(n1，2，3，).(2)由(
17、1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.10.(2017贵阳一模)已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1Sn1)(nN*)，令Tn，求Tn.解(1)当n1时，a1S1，由S1a11，得a1，当n2时，Sn1an，Sn11an1，则SnSn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2).故数列an是以为首项，为公比的等比数列.故an2(nN*).(2)因为1Snan.所以bnlog(1Sn1)logn1，因为，所以Tn.能力提升题组(建议用
18、时：25分钟)11.(2016郑州模拟)已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，S2 016中，有理数项的项数为()A.42 B.43 C.44 D.45解析an.所以Sn11，因此S3，S8，S15为有理项，又下标3，8，15，的通项公式为n21(n2)，所以n212 016，且n2，所以2n44，所以有理项的项数为43.答案B12.(2017济南模拟)在数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A.76 B.78 C.80 D.82解析因为an1(1)nan2n1，所以a2a11，a3a23，a4a35，a5a47，a6a59
19、，a7a611，a11a1019，a12a1121，所以a1a32，a4a28，a12a1040，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12a1a2a3a12(a1a3)(a5a7)(a9a11)(a2a4)(a6a8)(a10a12)328244078.答案B13.(2017台州调研)已知数列an满足：a12，an1，则a1a2a3a15_；设bn(1)nan，数列bn前n项的和为Sn，则S2 016_.解析a12，an1，a23，a3，a4，a52.a4n12，a4n23，a4n3
20、，a4n.a4n1a4n2a4n3a4n2(3)1.a1a2a3a15a13a14a15a1a2a32(3)3.bn(1)nan，b4n12，b4n23，b4n3，b4n.b4n1b4n2b4n3b4n23.S2 0162 100.答案32 10014.(2015山东卷)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1.15.(2016浙江卷)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和.解(1)由题意得则又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn