1、第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabs
2、in Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(
3、1)(2)(3)(4)(5)2.(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A. B. C.2 D.3解析由余弦定理，得5b2222b2，解得b3，故选D.答案D3.(2017湖州预测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos B()A. B.C. D.解析由正弦定理知1，即tan B，由B(0，)，所以B，所以cos Bcos，故选B.答案B4.在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B.C.2 D.2解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos
4、603，所以BC.答案B5.(必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形6.(2017绍兴调研)已知钝角ABC的面积为，AB1，BC，则角B_，AC_.解析钝角ABC的面积为，AB1，BC，1sin B，解得sin B，B或，当B时，由余弦定理可得AC1，此时，AB2AC2BC2，可得A，此ABC为直角三角形，与已知矛盾，舍去.B，由余弦定理可得AC.答案考点一利
5、用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个C.0个 D.无法确定(2)在ABC中，已知sin Asin B1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_.(3)(2015广东卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，sin B，C，则b_.解析(1)bsin A，bsin Aab.满足条件的三角形有2个.(2)由题意知ab，a2b2c22bccos A，即2b2b2c22bccos A，又c2b2bc，cos A，A(0，180)，A45，sin B，又B(0，180)，ba，B30，C105.(3)因
6、为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC0，sin A1，即A.答案B【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形.答案C【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C”，试确定ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得，由2co
7、s Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0，又A与B均为ABC的内角，所以AB.又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60，ABC为等边三角形.规律方法(1)判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代
8、数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积有关的问题【例3】 (2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.由C(0，)知sin C0，可
9、得cos C，所以C.(2)由已知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练2】 (2017日照模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2ab)cos Cccos B0.(1)求角C的值；(2)若三边a，b，c满足ab13，c7，求ABC的面积.解(1)根据正弦定理，(2
10、ab)cos Cccos B0可化为(2sin Asin B)cos Csin Ccos B0.整理得2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A.0A，sin A0，cos C.又0C，C.(2)由(1)知cos C，又ab13，c7，由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab1693ab49，解得ab40.SABCabsin C40sin10.思想方法1.应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要化到只含角或只含边.易错防范1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.