1、第3讲不等式高考定位1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数zxy经过A(3，0)时取得最大值，故zmax303.答案D2.(2016山东卷)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12解析作出不等式组表示的平面区域，
2、如图中阴影部分所示：x2y2表示区域内点到原点距离的平方，由得A(3，1).由图形知，(x2y2)max|OA|232(1)210.答案C3.(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号.答案44.(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_.解析当x0时，f(x)f(x1)，原不等式化为2x1，解得x0，当01，该式恒成立，当x时，f(x)f2x2x，又x时，2x2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为.答案考 点 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2bxc0(或0
3、)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法.0(0(0，b0).(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，当ab时等号成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值).(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验
4、证解决.热点一不等式的性质及解法【例1】 (1)已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则f(2x)0的解集为()A.x|x2或x2 B.x|2x2C.x|x4 D.x|0x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.(2)f(x)3x22ex3x2223x20且f(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数.又f(x)x32xexex(x32xex)f(x)，故f(x)为奇函数，由f(a1)f(2a2)0，得f(2a2)f(1a)，2a21a，解之得1a，故实数a的取值范围是.答案(1)C(2)探究提高1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再结合
5、相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】 (1)若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.(2)已知不等式|a2a|对于x2，6恒成立，则a的取值范围是_.解析(1)因为a2，2，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)xax210，由题意可知解之得xR.(2)设y，y0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_.(2)(2016江苏卷改编)已知函数f(x)2x，若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，则实数m的最大值为
6、_.解析(1)直线1(a0，b0)过点(1，2)，1(a0，且b0)，则2ab(2ab)4428.当且仅当，即a2，b4时上式等号成立.因此2ab的最小值为8.(2)由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，m对于xR恒成立.又f(x)24，且4，m4，故实数m的最大值为4.答案(1)8(2)4探究提高1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合
7、函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【训练2】 (1)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均为正数，则的最小值是()A. B. C.8 D.24(2)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4解析(1)ab，3(y1)2x0，即2x3y3.x0，y0，(2x3y)(1226)8.当且仅当3y2x时取等号.(2)依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.，即ab2，ab的最小值为2.答案(1)C(2)C热点三简单的线性规划问题命题角度1已知线性约束条件，求线性目标函数最值【例31】 (1
8、)(2017天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zxy的最大值为()A. B.1 C. D.3(2)(2017全国卷)若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_.解析(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由zxy得yxz，作出直线yx，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax033，选项D符合.(2)由题设，画出可行域如图阴影部分所示：由z3x4y，得yx，作出直线yx，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)时，z有最小值.故zmin31411.答案(1)D(2)1命题角度2求非线性目标函数的最值【例32】 (2017汉中模拟)
9、已知实数x，y满足则z的取值范围是_.解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，联立得A(2，0).联立得点B(5，6).z的几何意义为可行域内的动点与定点P(2，1)连线的斜率，kPA，kPB1，z的取值范围为.答案命题角度3线性规划中参数问题【例33】 (2017池州模拟)已知x，y满足约束条件目标函数z2x3y的最大值是2，则实数a()A. B.1 C. D.4解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2x3y的最大值是2，由图象知z2x3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2.由解得A(4，2)，同时A(4，2)也在直线axy40上，4a2，则a.答案A探究
10、提高1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】(1)(2017山东卷)已
11、知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是()A.3 B.1 C.1 D.3 (2)(2017新乡模拟)若实数x，y满足且zmxy(m2)的最小值为，则m等于()A. B. C.1 D.解析(1)已知约束条件可行域如图中阴影部分所示，zx2y经过B(1，2)时有最大值，zmax1223.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，zmxy(m2)的最小值为，可知目标函数的最优解过点A，由解得A.3，解得m1.答案(1)D(2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问
12、题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类
13、问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.cab解析a2，b3，c25，所以bac.答案A2.(2017南昌模拟)若正数x， y满足1，则3x4y的最小值是()A.24 B.28C.25 D.26解析正数x，y满足1，则3x4y(3x4y)13133225，当且仅当x2y5时取等号.3x4y的最小值是25.答案C3.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A.3，0 B.3，2C.0，2 D.0，3解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)
14、.结合目标函数的几何意义，函数在点A(0，3)处取得最小值z033，在点B(2，0)处取得最大值z202.答案B4.已知当x0时，2x2mx10恒成立，则m的取值范围为()A.2，) B.(，2C.(2，) D.(，2)解析由2x2mx10，得mx2x21，因为x0，所以m2x.又2x22.当且仅当2x，即x时取等号，所以m2.答案C5.(2017济南十校二模)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a() A.3 B.2 C.2 D.3解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B(1，1).由zaxy，得yaxz.当a2或3时，zaxy在O(0，0)处取得最大
15、值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D；当a2或3时，zaxy在A(2，0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选B.答案B二、填空题6.已知函数f(x)那么不等式f(x)1的解集为_.解析当x0时，由log3x1可得x3，当x0时，由1可得x0，不等式f(x)1的解集为(，03，).答案(，03，)7.(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_.解析法一x0，y0且xy1.2xy1，当且仅当xy取等号，从而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21.法二可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2y2的
16、取值范围为.答案8.(2017长郡中学二模)曲线x|y1|与y2x5围成封闭区域(含边界)为，直线y3xb与区域有公共点，则b的最小值为_.解析作x|y1|与y2x5围成的平面区域如图，由解得A(6，7)，平移直线y3xb，则由图象可知当直线经过点A时，直线y3xb在y轴上的截距最小，此时b最小.b3xy的最小值为18711.答案11三、解答题9.(2017郴州二模改编)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求实数m的取值范围.解先根据约束条件画出可行域(图略)要使可行域存在，必有m2m1，要求可行域包含直线yx1上的点，只要边界点(m，12m)在直线
17、yx1的上方，且(m，m)在直线yx1的下方，故得不等式组解之得m.故实数m的取值范围是.10.已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号.由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.11.(2017天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广
18、告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.解方程组得点M的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.