1、第三节 选修45 不等式选讲1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|_，当且仅当_时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么_，当且仅当_时，等号成立|a|b|ab0|ac|ab|bc|(ab)(bc)02绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：(2)|axb|c、|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|c_；|axb|c_不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或xaxR|x0Raxbc或axbccaxbc2ababababc4柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立1
2、一组重要关系|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|，|a|b|之间的关系：(1)|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时，左边等号成立，当且仅当ab0时，右边等号成立2两个等价关系(1)|x|aaxa(a0).(2)|x|axa或xa(a0).3一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号4一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”1(基本方法：解绝对值不等式)不等式|x1|3的解集为()A(，2)(1，)B(，1)(2，)C(2，1)D(1，2)B 3(基本能力：绝对值不等式的等
3、价转化)不等式|x1|x1|的解集为_答案：(0，)答案：35(基本方法：反证法求不等式)已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为_答案：a，b，c不全是正数1(2020高考全国卷)已知函数f(x)|xa2|x2a1|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)若f(x)4，求a的取值范围(2)因为f(x)|xa2|x2a1|a22a1|(a1)2，故当(a1)24，即|a1|2时，f(x)4.所以当a3或a1时，f(x)4.当1a3时，f(a2)|a22a1|(a1)24.所以a的取值范围是(，13，).2设函数(x)5|xa|x2|.(1)当a1
4、时，求不等式(x)0的解集；(2)若(x)1，求a的取值范围(2)(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，故(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(，62，).方法总结含绝对值不等式的解法方法解读适合题型公式法利用公式|x|aax0)和|x|axa或x0)直接求解不等式|f(x)|g(x)或|f(x)|m(a0，b0，m0)表示数轴上点x到a的距离与到b的距离之和大于m形如|xa|xb|m的形式续表典例剖析类型 1 绝对值函数的性质例1(2020高考全国卷)已知函数f(x)|3x1|2|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式f(x)
5、f(x1)的解集(2)函数yf(x)的图象向左平移1个单位长度后得到yf(x1)的图象，如图所示类型 2 绝对值不等式的性质例2(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解析：(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0 x1时等号成立，|y1|y1|(y1)|(y1)|2，当且仅当1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0 x1，1y1同时成立时等号成立，|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1
6、|的最大值为5.方法总结求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值题组突破1不等式|x1|x5|4.2已知函数f(x)|xa|x2|，aR.(1)若a1，求不等式f(x)x5的解集；(2)若ax22x5，求实数a的取值范围(2)若ax22x5恒成立，所以2xa2x22x5，即a0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.方法总结证
7、明不等式的方法与技巧(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求式，利用综合法(2)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据2(2019高考全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|
8、(xa).(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1).当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以不等式f(x)0的解集为(，1).(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，所以a的取值范围是1，).(2021江西上饶模拟)已知函数f(x)|2xa|2x1|，g(x)|x1|2.(1)解不等式g(x)4；(2)若对任意x2R，都有x1R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解析：(1)由|x1|24，得|x1|2，解得x1或x3.故不等式g(x)4的解集为x|x1或x3(2)因为对任意x2R，都有x1R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yg(x)y|yf(x)又因为g(x)|x1|22，f(x)|2xa|2x1|(2xa)(2x1)|a1|，所以|a1|2，解得3a1，所以实数a的取值范围为3，1.点击进入word
