1、考点规范练13初等函数模型的应用一、基础巩固1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100答案:C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.2.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3B.4C.6D.12答案:A解析:设隔墙的长为x(0x6),矩形面积为y,则y=x24-4x2=2x(6-x)
2、=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y最大.3.一股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案:B解析:设该股民购买这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a1.1n元,经历n次跌停后的价格为a1.1n(1-10%)n=a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99naa,故该股民这只股票略有亏损.4.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再
3、生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案:B解析:由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,r=2.286=0.38,e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t0.69,t0.690.381
4、.8(天),故选B.5.(2021福建漳州三模)某市盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位:小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y=11000t2,0t10,mat,10t100,其中m,a为常数.已知采用该种保鲜方法后,杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度,采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展,为了保证该市的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据:log231.6)()A.20
5、小时B.25小时C.28小时D.35小时答案:C解析:当10t100时,y=mat,由题意可得10%=ma10,20%=ma40,解得a=2130,m=1102-13,为使新鲜度不低于85%,即不能失去超过15%的新鲜度,则有15%1102-132t30,即2t3032213=32-23,因此log22t30log232-23=log23-23,即t30log23-23,则t30log23-2048-20=28,即物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过28小时.6.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100,xN
6、*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.答案:16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则0x100,xN*,(100-x)(1+1.2x%)t100t,解得00,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(参考数据:21.414,31.732,lg 20.301 0,lg 30.477 1)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月
7、该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.解:(1)由于y=kax(k0,a1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p0)的增长速度越来越慢.故依据题意应选函数y=kax(k0,a1),则有ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,即y=832x(xN).(2)由(1)知,当x=0时,y=8.由经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍,得832x=81000,解得x=log321000=lg1000lg32=3lg3-lg217.04.故原先投放的水葫芦的面积为8m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.二、综合应用8.“好酒也怕巷子深”.许多著名品牌
8、是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)答案:14a2解析:令t=A(t0),则A=t2,则D=aA-A=at-t2=-t-12a2+14a2,当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.9.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下
9、列函数中选取一个最佳的函数模型是.y=ax+b;y=ax2+bx+c;y=logax.(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的取值范围.解:(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大,而模型均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型.(2)由表中数据可知16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,-b2a=4+362,解得a=14,b=-10,c=126.得函数模型为y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26.故当
10、市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.(3)由于f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,则14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有两个相异实数根,即=(10+k)2-(6-2m)0恒成立,即-2mk2+20k+94.由于k2+20k+94=(k+10)2-6-6,得-2m3.故m的取值范围是(3,+).三、探究创新10.(2021上海黄浦二模)某民营企业开发出了一种新产品,预计能获得50万元到1 500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随经济收益x(单位:万元)的增加而增加,且y0,奖金金额不超
11、过20万元.(1)请你为该企业构建一个y关于x的函数模型,并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数y=150x+1,50x500,19+1-ax,5000,当x=1500时,y=11001500+1=160且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2)当50x500时,易知y=150x+1单调递增,且当x=50时,y=15050+1=20,当x=500时,y=150500+1=110且不超过20万的要求;故当50x500时,y=150x+1符合企业奖励要求.当500x1500时,函数f(x)=19+1-ax单调递增,即对任意x1,x2(500,1500,且x1x2时,f(x1)-f(x2)=(1-a)x2-x1x1x20成立.故当且仅当1-a1时,此时函数在区间(500,1500上单调递增.由19+1-a5000,得a9501;进一步可知,1-ax0,故y=19+1-ax1920成立,即当10且金额不超过20万的要求.依据函数模型y=150x+1,50x500,19+1-ax,500x1500是符合企业的奖励要求,即此函数为增函数,于是,有150500+119+1-a500,解得a4001.综上,所求实数a的取值范围是1a4001.