1、第1讲导数的概念及运算考试要求1.导数的概念及其实际背景，A级要求；2.导数的几何意义，B级要求；3.根据导数定义求函数yc，yx，y，yx2，yx3，y的导数，A级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B级要求知 识 梳 理1导数的概念设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，且x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)若函数yf(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)
2、的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)
3、f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()解析(1)f(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f(x0)表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错(2)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(2)错(4)f(x)a32axx2x22axa3，f(x)2x2a，(4)错答案(1)(2)(3)(4)2(选修11P5
4、7例4改编)函数f(x)2x10在区间3，1内的平均变化率为_解析平均变化率为2.答案23(2016天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案34(2017镇江期末)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_解析y5ex，所求曲线的切线斜率ky|x05e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.答案5xy205(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析由题意可得f(x)3ax
5、21，则f(1)3a1，又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案1考点一导数的计算【例1】 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)因为yx31，所以y(x3)(1)3x2.(3)因为yxsin x，所以yx1cos x.(4)y.规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错(2)如函数为
6、根式形式，可先化为分数指数幂，再求导【训练1】 (1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0_.(2)(2015天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析(1)f(x)2 017ln xx2 018ln x由f(x0)2 018，得ln x00，则x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案(1)1(2)3考点二导数的几何意义(多维探究)命题角度一求切线方程【例21】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex
7、1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_(2)(2017扬州中学质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_解析(1)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.答案(1)2xy0(2)xy10命题角
8、度二求切点坐标【例22】 (2017苏、锡、常、镇四市调研)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析由yex，知曲线yex在点(0,1)处的切线斜率k1e01.设P(m，n)，又y(x0)的导数y，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2.依题意k1k21，所以m1，从而n1.则点P的坐标为(1,1)答案(1,1)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例23】 已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为_解析设切点坐标为P(x0，y0)，由yxln x，得y.y|xx0，依题意，x01，则P，又切点P在直线yxb上，故b，得b1.答案1规律
9、方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其他的公共点(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标(3)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.【训练2】 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(2)(2017常州复习检测)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a_.解析(1)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜
10、率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)(2)yx3，又切线与直线axy10垂直a1，则a2.答案(1)(e，e)(2)2思想方法1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意交换的等价性3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点易错防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公
11、式混淆2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1设yx2ex，则y_.解析y2xexx2ex(2xx2)ex.答案(2xx2)ex2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案13曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_解析yc
12、os xex，故切线斜率为k2，切线方程为y2x1，即2xy10.答案2xy104(2017苏州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为_解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.答案5若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析因为y2ax，所以y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，解得a.答案6(2017南师附中月考)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2
13、是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.解析由图形可知：f(3)1，f(3)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)110.答案07(2017苏北四市模拟)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a_.解析y，由条件知1，a1.答案18(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1.又该切线与yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，
14、a0且a28a0，解得a8.答案8二、解答题9已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)211，所以当x2时，y1，y，所以斜率最小的切线过点，斜率k1，所以切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，所以tan 1，所以.10已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P
15、0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2016山东卷改编)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数：ysin x；yln x；yex；yx3.其中具有T性质的是_(填序号)解析若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于：ycos x，若有cos x1cos x2
16、1，则当x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于：y，若有1，即x1x21，x10，x20，不存在x1，x2，使得x1x21；对于：yex，若有ex1ex21，即ex1x21.显然不存在这样的x1，x2；对于：y3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.答案12(2017合肥模拟改编)点P是曲线x2yln x0上的任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析点P是曲线yx2ln x上任意一点，当过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小，直线yx2的斜率为1，令yx2ln x，得y2x1，解得x1或x(舍去)，故曲线yx2ln x上和直线yx2平行的
17、切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线yx2的距离等于，点P到直线yx2的最小距离为.答案13若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)x2axln x，f(x)xa(x0)f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号)答案2，)14已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有f(x)1，g(x).曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a，所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)所以y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，所以y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
