1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 4 课时 直线、平面平行的判定与性质 考纲点击1.以命题形式对空间直线与平面平行、平面与平面平行进行简单的判定.2.以常见几何体为背景，推导(证明)直线与平面、平面与平面平行(判定定理与性质定理的综合应用).1(2015高考北京卷)设，是两个不同的平面，m 是直线且 m，“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B.当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m；当 时，内任一直线与 平行，因为 m，所以 m.综上知，“m”是“”的必要而不充分条件
2、2(2015高考安徽卷)已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：选 D.A 项，可能相交，故 A 错误；B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故 B 错误；C 项，若 m，n，mn，则 m，故 C 错误；D 项，假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 mn，所以原命题正确，故 D 项正确3(2016高考山东卷)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF
3、DB.(1)已知 ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面 ABC.证明：(1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF.如图所示连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF，因为 FB平面BDEF，所以 ACFB.图(2)如图，设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC，又 HIGII，所以平面
4、 GHI平面 ABC.因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.图考点一 直线与平面平行的判定与性质命题点 1 直线与平面平行的判定1直线与平面平行的判定方法 判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行线面平行)lalal 2.证明线面平行的常用方法(1)线面平行的判定定理：ab，b，aa；(2)面面平行的性质：，aa；(3)向量法：在直线不在平面内的前提下，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线向量表示 1在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为
5、AB，AD 上的点，且 AEEBAFFD14，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则()ABD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形BEF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形CHG平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形DEH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形解析：选 B.如图，由题意得，EFBD，且 EF15BD.HGBD，且 HG12BD.EFHG，且 EFHG，又 HG面 BCD，EF平面 BCD 且四边形 EFGH 是梯形2.(2016高考全国丙卷)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD上一点
6、，AM2MD，N 为 PC 的中点证明 MN平面 PAB；求四面体 N-BCM 的体积解：证明：由已知得 AM23AD2，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TNAM，故四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AEAB2BE2 5.由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM124 52 5.所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM13SBCMPA2 4 53.因为P
7、A平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内.命题点 2 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理 性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行线线平行)aab ab 3如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，点 E 为 AD的中点，点 F 在 CD 上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于解
8、析：EF平面 AB1C，且面 ABCD面 ACB1AC，又 E 是 AD 的中点，即 EF 是DAC 的中位线 EF12AC12 2222 2答案：24四面体 A-BCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD，BC的平面分别交四面体的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H.(1)求四面体 A-BCD 的体积；(2)证明：四边形 EFGH 是矩形解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面 BDC，四面体 ABCD 体积 V131222123.(2)证明：BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDCFG，平面 EFGH平面 ABCEH，B
9、CFG，BCEH，FGEH.同理 EFAD，HGAD，EFHG，四边形 EFGH 是平行四边形又AD平面 BDC，ADBC，EFFG.四边形 EFGH 是矩形利用线面平行时，必须过已知线作辅助面与已知平面相交，得出交线后，才可得出线线平行.考点二 平面与平面平行的判定与性质命题点 1 平面与平面平行的判定1没有公共点的两个平面叫做平行平面 符号表示：平面、平面、若，则.2平面与平面平行的判定定理 判定定理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行，则面面平行”)a，b，abP，a，b 3.证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面
10、平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 1.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，若 Q 是 CC1 的中点证明：平面 D1BQ平面 PAO.证明：Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，QBPA.P，O 分别为 DD1，DB 的中点，D1BPO.又D1B平面 PAO，PO平面 PAO，QB平面 PAO，PA平面 PAO，D1B平面 PAO，QB平面 PAO，又 D1BQBB，D1B，QB平面 D1BQ，平面 D1BQ平面 PAO.2如图所示，在三棱
11、柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：B，C，H，G 四点共面；平面 EFA1平面 BCHG.证明：G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，GH 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面 E，F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1GEB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.面面平行是空间平行关系的
12、最高一级，可以用低级的线线平行、线面平行来推证.命题点 2 面面平行的性质两平面平行的性质定理 序号文字语言图形语言符号语言 性质定理1如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且aa 性质定理2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的 交 线 平 行(简 记 为“面 面平 行则 线线 平行”)且a且 b ab 性质定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 且l l 3如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 APa3，过 B1、D1、P 的平面交底面 ABCD 于PQ，Q 在
13、直线 CD 上，则 PQ.解析：平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而 平 面 B1D1P 平 面 ABCD PQ，平 面 B1D1P 平 面A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，BDPQ，设 PQABM，ABCD，APMDPQ.PQPMPDAP2，即 PQ2PM.又知APMADB，PMBDAPAD13，PM13BD，又 BD 2a，PQ2 23 a.答案：2 23 a4.如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1，求ADDC的值解：由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 B
14、C1DBC1，连接 A1B 交 AB1 于点 O，平面 A1BC1平面 AB1D1D1O得 BC1D1O，A1D1D1C1A1OOB.又A1D1D1C1DCAD，A1OOB 1，DCAD1 即ADDC1.由面面平行，可得出线面平行，也可得出线线平行，但必须是这两个平行平面与第三个平面的交线.考点三 空间平行的转化与探索命题点 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化(2017石家庄模拟)如图，棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD为菱形，平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)证明：平面 AB1C平面 DA1C1；(2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使BP平面 DA1C1？若存在
15、，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质，知 AB1DC1，A1DB1C，AB1B1CB1，A1DDC1D，平面 AB1C平面 DA1C1.(2)存在这样的点 P 满足题意 如图，在 C1C 的延长线上取一点 P，使 C1CCP，连接 BP，B1BCC1BB1CP，四边形 BB1CP 为平行四边形，BPB1C，A1DB1C，BPA1D.又A1D平面 DA1C1，BP平面 DA1C1，BP平面 DA1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的
16、条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件出现矛盾，则不存在.一般猜想线段的中点、端点、特殊分点等.空间平行关系的转化及应用典例 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积解(1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 E
17、F 于点 K，连接PO，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14，从而 KB14DB12OB，即 K 为 OB 的中点再由 POGK 得 GK12PO，即 G 是 PB 的中点，且 GH12BC4.由已知可得 OB4 2，
18、PO PB2OB2 68326，所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 SGHEF2GK482 318.方法探究(1)根据线面平行的性质及公理证明线线平行 思维程序：BC面 GEFHBCGHBCEF GHEF.(2)利用垂直关系证明线面平行，利用线线平行，得梯形的高思维程序：PO底面 ABCDPO面 GEFHGKPO.利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合(2017淄博市高三检测)如图，在直三棱柱 AB
19、C-A1B1C1 中，ADA1B，ADA1C，P 为 AC 的中点(1)求证：B1C平面 A1PB；(2)若 AD 3，ABBC2，求三棱锥 P-A1BC 的体积解：(1)证明：三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，连接 AB1交 A1B 于点 E，则 E 为 AB1 的中点，连接 PE，又 P 为 AC 的中点，PEB1C，又 PE平面 A1PB，B1C平面 A1PB，B1C平面A1PB.A1A平面 ABC，又 BC平面 ABC，A1ABC.又 AA1平面 A1AB，AD平面 A1AB，A1AADA，BC平面 A1AB，BCAB.又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABBC2，SAB
20、C12ABBC12222，又 P 为 AC 的中点，(2)ADA1B，ADA1C，A1BA1CA1，AD平面 A1BC，又 BC平面 A1BC，ADBC，又三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，SBCP12SABC1.ADA1B，AD 3，AB2，在 RtADB 中，sin ABDADAB 32，ABD60.在 RtA1AB 中，AA1ABtan 602 3，A1B4，V 三棱锥 P-A1BCV 三棱锥 A1-BCP13SBCPA1A1312 32 33.1考前必记(1)三角形中位线定理，公理 4.(2)线面平行的判定方法及性质(3)面面平行的判定方法及性质2答题指导(1)证明线线平行，想到线面平行，面面平行性质，中位线定理等(2)证明线面平行，想到判定定理及面面平行性质(3)证明面面平行，想到其判定定理(4)应用判定定理、性质定理，想到其成立的条件课时规范训练