1、必考部分 第九章 解析几何 9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲展示 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式 2掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系 考点 1 直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l_之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴_时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 的倾斜角的取值范围是_ 答案：(1)向上方向 平行或重合(2)0，)2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角
2、不是 90，则斜率 k_.(2)计算公式：若由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 ky2y1x2x1.答案：(1)tan 斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围(1)当 a3 时，直线 ax(a3)y10 的倾斜角为_ 答案：90 解析：当 a3 时，直线 ax(a3)y10 可化为 3x10，其倾斜角为 90.(2)直线 xcos y20 的倾斜角的范围是_ 答案：0，4 34，解析：设直线的倾斜角为.依题意知，斜率 kcos.cos 1,1，k1,1，即 tan 1,1 又 0，)，0，4 34，.求斜率或倾斜角：公式法 已知直线 l
3、 经过 A(cos，sin2)，B(0,1)两个不同的点，则直线 l 的斜率为_，倾斜角的取值范围是_ 答案：cos 0，2 2，解析：当 cos 0 时，sin21cos21，此时 A，B 两点重合，cos 0，斜率 kcos 1,0)(0,1，因此倾斜角的取值范围是 0，2 2，.典题 1(1)设直线 l 的方程为 xycos 30(R)，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是()A0，)B.4，2 C.4，34 D.4，2 2，34 答案 C 解析 当 cos 0 时，方程变为 x30，其倾斜角 2；当 cos 0 时，由直线方程可得斜率 ktan 1cos.cos 1,1且 cos 0，k
4、(，11，)，即 tan(，11，)，又 0，)，4，2 2，34.综上知，倾斜角 的取值范围是4，34，故选 C.(2)若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为，而 6，4 23，则 k 的取值范围是_ 答案 3，0)33，1 解析 当6 4 时，33 tan 1，33 k1.当23 时，3tan 0，即 3k0.k33，1 3，0)(3)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_ 答案(，3 1，)解析 如图所示，kAP10211，kBP 3001 3，直线 l 斜率的取值范围为(，3 1，)题点发散 1 若将本例(3)中
5、 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解：P(1,0)，A(2,1)，B(0，3)，kAP10213，kBP300 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13，3.题点发散 2 若将本例(3)的条件改为“经过 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 的取值范围 解：解法一：如图所示，kPA2101，kPB1201，由图可得，直线 l 的倾斜角 的取值范围是0，4 34，.解法二：由题意知，直线 l 存在斜率 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y1kx，即 kxy10.A
6、，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上(k21)(2k11)0，即 2(k1)(k1)0.1k1.直线 l 的倾斜角 的取值范围是0，4 34，.点石成金 求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点(1)两个步骤：求出斜率 ktan 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角 的取值范围(2)一个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在 考点 2 直线方程 直线方程的五种形式 答案：yy0k(xx0)ykxb yy1y2y1xx1x2x1 AxByC0(A2B20)(1)教材习题改编直线 l 的倾斜角为 60，且在 x 轴上的截距为13，则直线 l 的方程为_ 答
7、案：3x 3y10 解析：由题意可知，直线 l 的斜率为 3，且该直线过 13，0，直线 l 的方程为 y 3x13，即 3x 3y10.(2)教材习题改编若方程 AxByC0 表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是_ 答案：A0 且 B0 解析：直线 AxByC0 与 x 轴相交，即方程组 AxByC0，y0 有唯一解，所以A0.同理，直线 AxByC0 与 y 轴相交时，有 B0.直线方程的易错点：方程形式的变形及转化(1)给出下列直线方程：x3y6；2x3y0；axbyc，其中一定能化为截距式方程的是_ 答案：解析：(1)x3y6 化为截距式方程为 x6 y21
8、；2x3y0 不能化为截距式方程；当 a，b，c 中有 1 个或 2 个为 0 时，axbyc 不能化为截距式方程(2)过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_ 答案：4x3y0 或 xy10 解析：若直线过原点，则 k43，所以 y43x，即 4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为xaya1，即 xya，则 a3(4)1，所以直线方程为 xy10.综上，所求直线方程为 4x3y0 或 xy10.典题 2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 1010；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且
9、到原点的距离为 5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为，则 sin 1010(00，b0，故 ab(ab)1a1b 2baab224，当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最小值为 4.角度二 与导数的几何意义相结合的问题 典题 4 设 P 为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，4，则点 P 横坐标的取值范围为()A.1，12 B1,0 C0,1 D.12，1 答案 A 解析 由题意知，y2x2，设 P(x0，y0)，则在点 P 处的切线的斜率 k2x02.因为曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，4，则
10、 0k1，即 02x021，故1x012.角度三 与圆相结合求直线方程问题 典题 5 在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是半圆 O：x2y22(x0)上一点，直线 OA的倾斜角为 45，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H，过点 H 作 OA 的平行线交半圆于点 B，则直线 AB 的方程是_ 答案 3xy 310 解析 直线 OA 的方程为 yx，代入半圆方程，得 A(1,1)，所以 H(1,0)，直线 HB 的方程为 yx1，代入半圆方程，得 B1 32，1 32.所以直线 AB 的方程为 y11 321x11 321，即 3xy 310.点石成金 处理直线方程综合应用的两大策略(1)
11、含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.已知直线 l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程(1)证明：直线 l 的方程可变形为 k(x2)(1y)0，令 x20，1y0，解得 x2，y1，无论 k 取何值，直线总经过定点(2,1)(
12、2)解：由直线 l 的方程知，当 k0 时直线在 x 轴上的截距为12kk，在 y 轴上的截距为 12k，要使直线 l 不经过第四象限，则必须有 12kk2，12k1，解得 k0；当 k0 时，直线为 y1，符合题意故 k0，即 k 的取值范围是0，)(3)解：由 l 的方程，得 A12kk，0，B(0,12k)依题意得 12kk0，解得 k0.S12|OA|OB|1212kk|12k|122k2k124k1k4 12(224)4，等号成立的条件是 k0 且 4k1k，即 k12，Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.方法技巧 1.直线的斜率 k 与倾斜角 之间的关系 0 090 9
13、0 900 不存在 k0 2.求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程 易错防范 1.利用两点式计算斜率时，易忽视 x1x2时斜率 k 不存在的情况 2用直线的点斜式求方程时，在斜率 k 不明确的情况下，注意分 k 存在与不存在讨论，否则会造成失误 3直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式 4由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0 的情况，当 B0 时，k不存在；当 B0
14、时，kAB.真题演练集训 2015新课标全国卷在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由 解：(1)由题设，可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)或 M(2 a，a)，N(2 a，a)又 yx2，故 yx24在 x2 a处的导数值为 a，则 C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0；yx24在 x2 a处的导数值为 a，则 C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x
15、2 a)，即 axya0.故所求切线方程为 axya0 和 axya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程，得 x24kx4a0.故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1 y2bx2 2kx1x2abx1x2x1x2kaba.当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意 课外拓展阅读 忽视斜率不存在而致误分析 典例 已知圆 C：(x1)2(y2)24，则过点 P
16、(1,1)的圆的切线方程为_ 审题视角 首先验证过 P(1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解 解析(1)当直线的斜率不存在时，方程为 x1.此时圆心 C(1，2)到直线 x1 的距离 d|11|2，故该直线为圆的切线(2)当直线的斜率存在时，设斜率为 k，则其方程为 y1k(x1)，即 kxyk10.由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k1k1|k222，整理得|2k3|k21 2，解得 k 512，故此时切线方程为 512xy 7120，即 5x12y70.综上，所求圆的切线方程为 x1 或 5x12y70.答案 x1 或 5x12y70 温馨提醒 求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误 提醒 完成课时跟踪检测(四十七)