1、第2课直线方程巩固层知识整合提升层题型探究直线的倾斜角与斜率【例1】已知直线l过P(2，1)，且与以A(4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围解根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.1由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决2由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x
2、1x2)求解3涉及直线与线段有交点问题，常用数形结合利用公式求解1直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角解设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1，k24，k30.由k10知，直线l1的倾斜角为锐角；由k20知，直线l2的倾斜角为钝角；由k30知，直线l3的倾斜角为0.直线方程的五种形式【例2】(1)已知直线的倾斜角为45，在y轴上的截距为2，则此直线方程为()Ayx2Byx2
3、Cyx2Dyx2(2)经过点M(2,1)，且过直线l1：2x3y60与l2：x2y40的交点的直线l的一般式方程为_(1)A(2)x2y40(1)直线的倾斜角为45，直线的斜率ktan 451，由斜截式可得直线方程为yx2.(2)由得两条直线的交点为(0,2)根据直线的两点式方程，可得直线l的一般式方程为x2y40.直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不
4、存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.2直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.法二：设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x，由得x.则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.法三：两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0，将
5、上述方程中(x，y)换成(2x,4y)，整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10，即为所求直线方程.两直线的位置关系【例3】已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0，又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a
6、1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.或考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.3(1)经过直线l1：2x3y50与l2：7x15y10的交点，且平行于直线x2y30的直线方程为()A9x18y40B18x9y1930Cx2y40D2xy40(2)直线l1过点A(m,1)和点B(1，m)，直线l2过点C(mn，n1)和点D(n1，nm)，则直线l1与l2的位置关系是()A重合B平行C垂直D无法确定(1)A(2)C(1)设要求的直线方程为：
7、2x3y5(7x15y1)0，化为(27)x(315)y(5)0.因为要求的直线平行于直线x2y30，所以，解得1，所以要求的直线方程为：9x18y40.(2)当m1时，直线l1过点A(1,1)和点B(1,1)，直线l2过点C(1n，n1)和点D(n1，n1)，此时直线l1的斜率k10，直线l2的斜率不存在，因此l1l2；当m1时，直线l1过点A(1,1)和点B(1，1)，直线l2过点C(1n，n1)和点D(n1，n1)，此时直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k20，因此l1l2；当m1时，直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k2，此时k1k21，因此l1l2.综上可知，直线l1与l2的位置关
8、系是垂直对称问题探究问题1试求点(2,3)关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标提示：在平面直角坐标系中(2,3)关于x轴对称的点坐标为(2，3)，关于y轴的对称点的坐标为(2,3)，关于原点对称的点的坐标为(2，3)2试求：l1：2xy10关于直线yx对称的直线方程提示：线的对称问题转化为点的对称问题，设所求直线上的任一点(x，y)，点(x，y)关于yx的对称点坐标为(y，x)在已知直线l1上，代入直线方程得x2y10.故所求直线方程为x2y10.【例4】已知直线l：y3x3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程解(1)设点P关于直线l
9、的对称点为P(x，y)，则PP的中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l.即解得P点的坐标为(2,7)(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立解得代入l的方程后，得3x3y3170.即l3的方程为3xy170.将本例变为求直线xy20关于l：3xy30对称的直线方程解由得交点P.取直线xy20上一点A(0，2)，设A点关于直线l：3xy30的对称点为A(x0，y0)则根据kAAkl1，且线段AA的中点在直线l：3xy30上，有解得故所求直线过点与(3，1)所求直线方程为y.即7xy220.1对称点坐标，由中点坐标公式可解决关于点的对称问题，已知点P(a，b)可得对称点坐标如下，P关于y轴的对称点P1(a，b)，P关于x轴的对称点P2(a，b)，P关于原点的对称点P3(a，b)2点关于直线对称，直线l外一点P1(x1，y1)关于直线l：AxByC0的对称点P2(x2，y2)的坐标由方程组决定3直线关于直线对称，直线l1：A1xB1yC10关于直线l：AxByC0对称的直线l2的方程可转化成“点对称于线问题”求解
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