1、2.5指数与指数函数考纲展示1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型考点1指数幂的化简与求值1.根式(1)根式的概念若_，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)a的n次方根的表示xna答案：(1)xna2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a_(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a_(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_(2)有理数指数幂
2、的性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)答案：(1)0无意义(2)arsarsarbr(1)教材习题改编若xx15，则x2x2_.答案：5解析：把xx15两边平方，可得x2x223，所以(xx1)2x22x221，所以xx1，所以x2x2(xx1)(xx1)5.(2)教材习题改编若xx3，则_.答案：解析：由xx3，得(xx)29，即xx17.根式化简与指数运算的误区：混淆“”与“()n”；误用性质(1)_；答案：|ab| 解析：|ab| (2)化简(2)6(1)0的结果为_答案：7解析：(2)6(1)0(26)1817.典题1化简下
3、列各式：(1)(0.064)2.50；(2).【解】(1)原式1110.(2)原式a (a2b)aaaa2.点石成金1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点2指数函数的图象及应用指数函数的图象与性质yaxa10a0时，_；x0时，_；x10y10y1增函数减函数(1)教材习题改编若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点(1,3)，则f(2)_.答案：解析：依题意可知a13，解
4、得a，所以f(x)x，所以f(2)2.(2)教材习题改编函数y的定义域为_. 答案：0，)解析：要使函数有意义，需满足1x0，得x0.指数函数常见误区：概念函数y(a23a3)ax是指数函数，则有a_.答案：2解析：根据定义有a23a31，解得a2或a1(舍去)典题2(1)2017陕西西安模拟函数yax(a0，a1)的图象可能是()A BC D答案D解析当a1时1函数单调递增，且函数图象恒过点，因为011，故A，B均不正确；当0a1时，函数单调递减，且函数图象恒过点，因为10，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数
5、的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1.函数f(x)1e|x|的图象大致是()ABCD答案：A解析：将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质，故选A.2当k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？解：函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点
6、，所以方程有一解；当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解考点3指数函数的性质及应用(1)教材习题改编函数f(x)a为奇函数，则a的值为_答案：(2)教材习题改编若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案：(，1)(1，)考情聚焦高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题主要有以下几个命题角度：角度一比较指数式的大小典题3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca答案C解析根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得，0.61.50.60.
7、60.601，而c1.50.61，bac.角度二简单的指数方程或不等式的应用典题4设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a0，a1)的单调性和底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论3底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1，还是0a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为
8、减函数，由题意得解得所以ab.32014上海卷若f(x)xx，则满足f(x)0的x的取值范围是_答案：(0,1)解析：令y1x，y2x，f(x)0即为y1y2，函数y1x，y2x的图象如图所示，由图象知，当0x1时，y1y2，所以满足f(x)0的x的取值范围是(0,1) 课外拓展阅读 指数函数的综合问题指数函数的单调性、奇偶性(1)解决单调性问题，除了复合函数“同增异减”的方法外，一般的方法是利用单调性的定义(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质典例1讨论函数f(x)的奇偶性与单调性及其值域思路分析解(1)显然函数f(
9、x)的定义域是R.因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数(2)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x1).因为y10x为R上的增函数，所以当x10，又102x110,102x210，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)是R上的增函数(3)y1.因为102x11，所以01，所以20，所以111时，af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)g(x)0恒成立f(x)g(x)min0，再构造函数h(x)f(x)g(x)，求出h(x)的最小值即可当0a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)若不等式xxm0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为_答案解析把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)bax，得结合a0，且a1，解得所以f(x)32x.要使xxm在x(，1上恒成立，只需保证函数yxx在(，1上的最小值不小于m即可因为函数yxx在(，1上为减函数，所以当x1时，yxx有最小值.所以只需m即可所以m的最大值为.提醒 完成课时跟踪检测(八)