1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 3 课时 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲点击1.利用平面性质公理判定共面、共线、共点问题.2.利用公理 1 判定直线与平面的关系.3.利用公理 3 判定两个平面的关系.4.利用公理 4 判定空间直线的关系.5.利用等角定理求异面直线所成的角.1(2015高考广东卷)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一
2、条相交解析：选 D.由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故l1，l2 中至少有一条与 l 相交2(2014高考辽宁卷)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 n解析：选 B.对于 A，若 m，n，则 m，n 可能平行、相交或异面，A 错；对于 B，若 m，n，则 mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；对于 C，若 m，mn，则 n 或 n，C 错；对于 D，若 m，mn，则 n 与 可能相交，可能平行，也可能 n，D 错 3(2015高考
3、浙江卷)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK.M 为 AD 的中点，MKAN，KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角 ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 ANDNCM2 2，MK 2.在 RtCKN 中，CK（2）212 3.在CKM 中，由余弦定理，得 cosKMC（2）2（2 2）2（3）22 22 278.答案：78考点一 平面的基本性质及应用命题点 确定平面的元素与条件平面
4、的基本性质 图形文字语言符号语言 公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.AlBlABl 两点公理2过不在同，有且只有一个平面.A，B，C 三点不共线有且只有一个平面，使 A，B，C.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们条过该点的公共直线若 P 且 P，则 a，且Pa.有且只有一一条直线上的三点1下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数是()A0 B1C2D3解析：选 C.对于，三点可能在一直线上，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标
5、系，能确定三个平面，故正确；对于，没有强调三点不共线，则两平面也可能相交，故错误2如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB和 AA1 的中点求证：(1)E、C、D1、F 四点共面；(2)CE、D1F、DA 三线共点证明：(1)连接 EF、CD1、A1B.E、F 分别是 AB、AA1 的中点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F 四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA.C
6、E、D1F、DA 三线共点(1)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明线共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明考点二 空间中直线、平面的位置关系命题点 构造几何模型中的线与面1空间两直线的位置关系 图形语言符号语言公共点 平行直线ab个 相交直线abA个 异面直线a，b 是异面直线个 0102.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言符号语言公共点 相交aA个
7、平行a个 直线与平面在平面内a个 1无数0平行个 平面与平面相交l个0无数1若直线 ab，且直线 a平面，则直线 b 与平面 的位置关系是()AbBbCb 或 bDb 与 相交或 b 或 b解析：选 D.b 与 相交或 b或 b 都可能 2如果已知命题“直线 l 与平面 有公共点”是真命题，那么下列命题：直线 l 上的点都在平面 内；直线 l 上有些点不在平面 内；平面 内任意一条直线都不与直线 l 平行其中真命题的个数是()A3B2C1D0解析：选 D.命题“直线 l 与平面 有公共点”是真命题，包括了两种情况，一是直线 l 与平面 有一个公共点相交；二是直线 l 与平面 有无数个公共点直线
8、在平面内所以“直线 l 上的点都在平面 内”是假命题；“直线 l 上有些点不在平面 内”是假命题；“平面 内任意一条直线都不与直线 l平行”是假命题故选 D.空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决也可借助于几何模型判定考点三 异面直线所成的角、异面直线的判定命题点 平移法作角1平行公理和等角定理(1)平行公理(公理 4)平行于的两条直线平行用符号表示：设 a，b，c 为三条直线，若 ab，bc，则 ac.(2
9、)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 同一条直线相等或互补2异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的叫做异面直线所成的角(或夹角)(2)范围：0，2锐角或直角1直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，M，N 分别是A1B1，A1C1 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D 22解析：选 C.如图，取 BC 的中点 D，连接MN，ND，AD，由于 MN 綊12B1C1 綊 BD，因此有 ND 綊 BM，则 ND 与 NA 所成角即为异面
10、直线 BM 与AN 所成的角设 BC2，则 BMND 6，AN 5，AD 5，因此 cosANDND2NA2AD22NDNA 3010.2(2017济南一模)在正四棱锥 V-ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为 1，侧棱长为 2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为解析：如图，设 ACBDO，连接 VO，因为四棱锥 V-ABCD是正四棱锥，所以 VO平面 ABCD，故 BDVO.又四边形 ABCD是正方形，所以 BDAC，又因为 VOACO，所以 BD平面VAC，所以 BDVA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为2.答案：2求异面直线所成角的具体步骤：(1)作(找)角：用平
11、移法过一条异面直线上的已知点，作另一条直线的平行线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线在某几何体中，且直接平移异面直线有困难，可利用几何体的特点，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(2)证明：说明所成的角为异面直线所成的角(3)求值：通过(1)(2)，将所求的角转化为一个三角形的内角，解三角形求出该角(有时可能需要通过解几个三角形得到该角的大小)(4)取舍：根据异面直线所成的角的范围正确取舍，得到结论 具体过程简记为：作(找)角证明求值取舍构造模型判断空间线面位置关系典例 已知 m，n 是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若
12、m，n，mn，则；若 m，n，mn，则；若 m，n，mn，则；若 m，n，则 mn.其中正确的命题是()ABCD思维点拨 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示；对于，由 m，可得 m，因为 n，所以过 n 作平面，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以 mn；故正确 答案 A方法探究(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，
13、这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断若 m、n 为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若直线 m、n 都平行于平面，则 m、n 一定不是相交直线；若直线 m、n 都垂直于平面，则 m、n 一定是平行直线；已知平面、互相垂直，且直线 m、n 也互相垂直，若 m，则 n；若直线 m、n 在平面 内的射影互相垂直，则 mn.A B C D解析：选 A.对于，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面；不正确 对于，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行，故正确；对
14、于，还有可能 n；不正确 对于，把 m，n 放入正方体中，如图，取 A1B 为 m，B1C为 n，平面 ABCD 为平面，则 m 与 n 在 内的射影分别为 AB与 BC，且 ABBC.而 m 与 n 所成的角为 60，故错因此选A.1考前必记(1)平面的性质公理(公理 1，公理 2，公理 3 及其推论)(2)空间直线的位置关系分类(3)空间平面间的位置关系分类(4)空间直线与平面间的位置关系分类(5)异面直线的定义和判定定理(6)异面直线所成角的定义及求法2答题指导(1)看到点、线共面问题，想到公理 1.(2)看到线共点、点共线问题，想到公理 2、3 及推论(3)看到判断异面直线想到异面直线的定义及定理(4)看到求异面直线所成的角，想到平移法及角度范围课时规范训练
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