1、辽宁省庄河市高级中学2022-2023学年度第一学期12月月考高三数学A一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则ABCD2江宁为“六代豪华”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望县、国中首善之地”的美誉江宁区的美丽乡村示范区按照“一村一品、一村一景、一村一业、一村一韵”要求，打造了十大美丽乡村，其中黄龙规村、大塘金村、周村、石塘村全国有名现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学前往以上四个村考察乡村文化，每一位同学只去一个村，每个村至少去一人，则所有的安排方案总数为（）A96B480C240D1203设、为锐
2、角，则为（）ABC或D以上都不对4定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为A3a1B13aC3a1D13a5李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都-泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A16种B18种C20种D24种6已知定义在上的函数在上是增函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是ABCD7已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD8已知数列满足，则A当时，则B当时，则C当时，则D当时，则二、选择题；本题共4小题，每小题5
3、分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9下列说法正确的是（）A为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区ABCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为7436，则应从B校中抽取的样本数量为80B6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，则D箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M=第一次取到红球
4、，N=第二次取到白球，则M、N为相互独立事件10悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为（，其中a为非零常数，e为自然对数的底数）当a1时，记，则下列说法正确的是（）AB是周期函数C的导函数是奇函数D在上单调递减11球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海航空卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成
5、的球面图形称为球面ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（）A若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为B若P，Q在赤道上，且，则球面NPQ的面积为C若，则球面NPQ的面积为D若，则由球面NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为12已知函数，若正实数满足，则下列说法正确的是（）A在函数上存在点，使得函数过该点的切线与只有一个交点B过点可作两条切线与函数相切CD的值与2的关系不确定三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13由正整数组成的数列，分别为递增的等差数列、等比数列，记，若存在正整数（）满足，则_14已知单位
6、向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作.已知，则_15已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱的外接球的体积为_16若对任意正实数x，y，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_四、解答题；本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知向量，其中（1）若，求函数的最小值及相应的的值；（2）若与的夹角为，且，求的值18已知等差数列满足：，的前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.19如图，直三棱柱的底面是正三角形，分别是的中点.证明：（1）平面平面；（2）平面平面.20在一次抽样调查中测得样本的5个样本点
7、，数值如下表： 0.250.51241612521（1）根据散点图判断,哪一个适宜作为关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立与之间的回归方程（注意或计算结果保留整数）（3）由（2）中所得设z=+且，试求z的最小值参考数据及公式如下：，21已知动圆既与圆：外切，又与圆：内切，求动圆的圆心的轨迹方程.22已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)当时,试问曲线与直线是否有公共点?如果有,求出所有公共点;若没有,请说明理由.参考答案1A整理复数成，实部与虚部相等列方程求解由题可知=，又复数实部与虚部相等，所以，故选A本题考查了复数知识及复
8、数运算，利用复数相关知识列方程求解2C先5人分成4组，其中一组2人，再分配到4个不同的村子即可.根据题意，5个同学分4组，其中一组有2名同学，共有种不同的分组方法，再安排4组同学去4个不同的村子，共有种不同的安排方法，由分步乘法计数原理可得，故选：C.3A利用sin2+cos21可求得cos，同理可求得cos，再由两角和与差的余弦函数求得+的余弦，从而可求得+、为锐角，且，又、为锐角，所以，故选A本题考查sin2+cos21的应用，考查两角和与差的余弦，考查运算能力，属于中档题4B试题分析：利用奇偶函数得出当x0时，f（x）=，x0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2
9、，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=13a，整体求解即可解：定义在R上的奇函数f（x），f（x）=f（x），当x0时，f（x）=，当x0时，f（x）=，得出x0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=42=8，x4+x5=24=8，log（x3+1）=a，x3=13a，故x1+x2+x3+x4+x5=8+13a+8=13a，故选B考点：函数的零点与方程根的关系5C分析：根据分类计数原理，“东亚文化之都泉州”“二日游”，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如，分两种情况讨论即可详情：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如，若
10、李雷选或，则韩梅梅有4种选择，选若李雷选或或或，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2（4+6）=20，故答案为C点睛：本题主要考查计数原理，意在考查计数原理等基础知识的掌握能力和分类讨论思想的运用能力.6C根据是奇函数，确定函数图象的对称中心为，再根据函数在上是增函数，确定函数在上为增函数，由以及函数的对称性，得出.画出函数图象的草图，结合图象确定不等式的解集.是奇函数.函数图象的对称中心为函数图象的对称中心为且又函数在上是增函数.函数在上为增函数.由对称性，画出函数图象的草图（如图）结合图象可得的解集是故选C本题考查函数的单调性与奇偶性及其简单应用，发展了
11、学生的直观想象的核心素养，属于中档题.7C根据平面向量的数量积运算得出的关系，代入椭圆方程，整理得出关于的方程，利用方程有解可建立关系求解.由题可知，设，则，代入椭圆，可得有解，令，且对称轴满足，即，又，.故选：C.8C依次判断每个选项的正误，得到答案.即 当时，故，A错误当时，故，B错误对于D选项，当时，D错误用数学归纳法证明选项C易知恒成立当时，成立假设当时成立，即当时：即成立故恒成立，得证故答案选C本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学知识，方法，性质的灵活运用.9ABC利用抽样比即可判断从B校中抽取的样本数量；利用对立事件及古典概型即可得到至少取到1
12、件次品的概率；根据线性回归直线必过样本中心点，可得的值；根据相互独立的定义即可作出判断.A.由分层抽样，应抽取人数为，A正确；B.至少取到1件次品的概率为，B正确；C.回归直线必过中心点，C正确；D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事件.故选：ABC10ACD，代入法判断选项A中是否成立；根据函数的周期性定义判断选项B；根据函数奇偶性性定义判断选项C；利用导函数判断选项D，对于A：，故A正确；对于B：，不存在非零常数T，使成立，故B错误；对于C：的定义域为R，满足，所以是奇函数，故C正确；对于D：当时，所以在上单调递减，故D正确故选：ACD11A
13、BC根据题意画出图形，证明两两垂直，结合三棱锥的体积公式和球的表面积公式计算即可判断A、B；由构造正四面体，利用等体积法和余弦公式求出，结合对称性即可判断C；根据选项C的分析，结合球和三棱锥的体积公式，利用间接法即可求出几何体的体积，进而判断D.如图1，因为，所以，则，又赤道所在平面，所以两两垂直，则三棱锥的体积，故A正确；当时，则球面的面积为，故B正确；如图2，当时，为正三角形，构造球内接正四面体，其中心为O，连接NO交SPQ于H，则NO=R，OH为正四面体内切球的半径，由等体积法可得，则，在中，由余弦定理可得，即，得，由对称性可得，球面的面积为，故C正确；如图3，结合选项C的分析可知，则，
14、所在的截面将球分为大半球、小半球两部分，其中大半球的体积为，在中，由余弦定理得，得，则，有，所以题意中构成几何体的体积为，故D错误.故选：ABC.12AC求出在点处的切线，设，由导数判断其单调性，研究函数的零点即可判断选项A；求出在点处的切线将和、代入，构造函数判断方程有无实根即可判断选项B；求出的单调性，构造函数，证明，即，即，根据的单调性可得出结论，可判断选项C和D，进而可得正确选项.对于选项A：的定义域为，设点处 切线为，则切线为，设，所以，由可得：；由可得：， 所以在单调递减，在单调递增，令则 ，可得在单调递增，而，所以在上只有一个零点，故选项A 正确；对于选项B：设点则切线为，若切线
15、过点，可得，即，令，则，由可得：；由可得：， 所以在单调递减，在单调递增，所以无解，所以不存在过点的切线，故选项B不正确；对于选项C和D：，所以可得在单调递增，由，设，记，（），则，所以在单调递增，因为，所以，即即，即，根据在单调递增，可得，所以，故选项C正确，选项D不正确，故选：AC.求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点，（2）求出在处导数，即在点处的切线斜率；（3）构建关系，解得；（4）由点斜式求得切线方程.13262根据条件列出不等式进行分析，确定公比、的范围后再综合判断.设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，所以；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以且；又时显然不
16、成立，所以，则，即；因为，所以；因为，所以 ；由可知：，则，；又，所以，则有根据可解得符合条件的解有： 或；当时，解得不符，当时，解得，符合条件；则.本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.14根据新定义结合向量数量积的坐标表示，可得结果.则由，则故答案为：本题考查对新定义的理解，还考查向量数量积的坐标表示，属基础题.15先取两底面三角形的外心、，进而确定三棱柱的外接球的球心位置，再利用正弦定理和直角三角形求外接球的半径，再利用球的体积公式求其体积.分别取
17、两底面三角形的外心、，连接，取的中点，连接、，则是三棱柱的外接球的球心，是外接球的半径.在中，利用正弦定理，得，即，在中，则，所以外接球的体积为.故答案为：.16可将已知不等式化为，设，令，转为求函数的最大值即可.对任意正实数x，y，不等式恒成立，即对任意正实数x，y，不等式恒成立设，令，由和在上单调递减，所以在上单调递减，又，当时，时，所以在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以在处取得极大值，且为最大值，则，即实数a的取值范围是故答案为：17（1）的最小值为，相应的的值为；（2）（1）根据数量积公式可得，令，根据辅助角公式将其化简变形可得的范围由二次函数配方法可求得其最值（2）
18、根据与的夹角为，由数量积公式可求得且，从而可得的值解：（1）因为、且，所以令，因为，由，所以，所以，则，因为，所以，当时，此时，即，得，即的最小值为，相应的的值为（2）由已知，所以由，得，即，即，即，由，得，即，得，；18（1），；（2）.（1）设等差数列的公差为，根据题中条件列出等式，即可解出和，从而求出的通项公式和前项和；（2）先求出的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.（1）设等差数列的公差为，则由，所以，即，；（2）结合（1）可知，所以数列的前项和.本题考查求等差数列的通项公式及其前项和，考查裂项相消法求和，难度不大.利用裂项相消法求和时要注意是邻项相消还是隔项相消.19（1）见解析
19、（2）见解析（1）根据直三棱柱的性质得到，根据等边三角形的性质得到，再根据面面垂直的判定得到平面平面.（2）连接，根据三角形中位线性质得到，从而得到平面.根据三棱柱的性质得到，从而得到平面.再根据面面平行的判定得到平面平面.证明：（1）因为三棱柱直三棱柱，所以.又是正三角形的边的中点，所以，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）连接，由于分别是的中点，所以，所以，而平面，平面，所以平面.在直三棱柱中，而平面，平面，所以平面.又，且，平面，所以平面平面.本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查面面平行的证明，熟练掌握面面垂直和平行的判定定理是解题的关键，属于中档题.20（1）见解析；（2）6（1
20、）由散点图可以判断，适宜作为y关于x的回归方程；(2)根据散点图可知与近似地呈反比例函数关系，设，令t，则yc+kt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系（3）由（2）得.易知在z是关于x的单调递增函数所以最小值为6.点睛：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题21化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心的轨迹方程：，：，设动圆圆心，半径为，则，是以、为焦点，长轴长为12的椭圆，所求轨迹方程为.本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，本质考查椭圆定义求方程，考查数形结合思想和运算求解能力22(1)；(2)曲线与直线仅有一个公共点,公共点为.(1)求出切线的斜率,则易得切线方程；(2)由题意，令，求导并判断函数的单调性，判断函数的零点个数,即可得出结论.（1）解：函数的定义域为.因为曲线在点处的切线与直线垂直,直线的斜率为，所以,解得,所以，的值为（2）解：当时,.令，.所以，当时,在单调递减；当时,在单调递增.又因为,所以在恒负.所以，曲线与直线仅有一个公共点,公共点为.
