1、2.3 函数单调性与奇偶性教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. (3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求
2、索的精神,形成科学,严谨的研究态度.教学建议一、知识结构（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对
3、高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在
4、这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以 的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值 开始,逐渐让 在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式 时,就比较容易体会
5、它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 )说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.函数的奇偶性教学设计方案教学目标1.使学生了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.教学重点,难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断难点是对概念的认识教学用具投影仪,计算机教学方法引导发现法教学过程
6、一. 引入新课前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?(学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如 和 等.)结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于 轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于 轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于
7、 轴对称的吗?学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个 只能对一个 ,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于 轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于 轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.二. 讲解新课2.函数的奇偶性(板书)教师从刚才的图象中选出 ,用计算机打出,指出这是关于 轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它
8、们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来观察,发现结论,这样的 是不存在的)从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.(1) 偶函数的定义:如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步认识)提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研
9、究)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.(2) 奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)例1. 判断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ;(3) ; ;(5) ; (6) .(要求学生口答,选出1-2个题说过程)解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数. (3) , 是偶函数.前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例
10、,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受任意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原
11、点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?例2. 已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生来完成)证明: 既是奇函
12、数也是偶函数, = ,且 , = . ,即 .证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 , , , ,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书)例3. 判断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ; (3) .由学生回答,不完整之处教师补充.解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数.(2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数.(3) 当 时,
13、于是 ,当 时, ,于是 = ,综上 是奇函数.教师小结 (1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须 均有 成立,二者缺一不可.三. 小结1. 奇偶性的概念2. 判断中注意的问题四. 作业 略五. 板书设计2.函数的奇偶性例1. 例3.(1) 偶函数定义(2) 奇函数定义(3) 定义域关于原点对称是函数 例2. 小结 具备奇偶性的必要条件(4)函数按奇偶性分类分四类扩展资料复合函数的单调性与奇偶性复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:1.若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么
14、由 的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:函数奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.2. 若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:函数单调性增函数增函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数. 选自名师一点通高中代数辽宁教育出版社 蒋佩锦编著探究活动(1) 定义域为 的任意函数 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?(2) 判断函数 在 上的单
15、调性,并加以证明.在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:设 为三角形的三条边,求证: .习题精选一、选择题(1)下列说法正确的是( ). 奇函数的图象一定过原点 偶函数的图象一定与 轴相交 在其定义域内是增函数 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称(2)下列函数中,在区间 上为增函数的是( ). (3)函数 为常数),则( ) 对任何常数 , 是既不是奇函数也不是偶函数 对任何常数 , 是奇函数 对任何常数 , 是偶函数 只有当 时, 是奇函数参考答案:(1)D (2)D (3)B 二、填空题(1) 在 都是减函数,则 在 上是_函数(填增或减).(2)函数 ,当 时,是增函数,
16、当 时是减函数,则 .(3）已知 是常数),且 ,则 的值为_.(4)若函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_.参考答案(1)减 (2)13 (3)1 (4) 三、解答题（）断下列函数的奇偶性: ; ; ; , ; .（）设 在 上是奇函数,当 时, ,试问当 时, 的表达式是什么?（）已知函数 ,试判断函数的奇偶性,并加以证明.（）设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, 是奇函数,且 ,求 和 的解析式.（）若 ( 为常数)是奇函数,求 的值.（）若 是偶函数,定义域为 ,且在 上是减函数,试比较 与 的大小.参考答案(1)偶函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 既是奇函数也是偶函数
17、 偶函数 (2) (3) 奇函数(4) (5) 1(6)当 时， ，当 时， 典型例题（例1例4）例1 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.分析：通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理.解：图（1）中 的单调区间有 , , , .其中在 和 上是减函数,在 和 上是增函数.图（2）中 的单调区间有 和 ,其中在 和 上都是减函数.说明：图（1）中 和 不在定义域内,因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”而其余端点写成“开”或“闭”均可.图（2）中虽在两个区间上均为减区间,但不能把两个区间并起来.例2用函数单调性定义证明:(1) 为常数)在
18、上是增函数.(2) 在 上是减函数.分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论.证明: (1)设 是 上的任意两个实数,且 ,则 = 由 得 ,由 得 , . , , 即 .于是 即 . 在 上是增函数.(2) 设 是 上的任意两个实数,且 ,则 由 得 ,由 得 .又 , .于是 即 . 在 上是减函数.说明:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子,分母都化成乘积的形式便于判断符号.例3函数 在 上是减函数,求 的取值集合.分析:首先需要对 前面的系数进行
19、分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究.解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不具备增减性.当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 .说明:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用.例4 下列函数是否具有奇偶性.(1) ; (2) ; (3) ; (4) .分析:根据定义,检验 与 的关系,同时注意定义域.解: (1) . 是奇函数.(2) . 是偶函数.(3)由于定义域 不关于原点对称,故 既不是奇函数也不是偶函数.(1) 的定义域为 且 ,是关于原点对称的,且有 和 同时成立, 故 既是奇函数又是偶函数.例5已知函数 .判断 的奇偶性,并
20、加以证明. 分析:这是一个分段函数,且每一段的解析式都比较熟悉,所以在判断其奇偶性时可以借助函数图象观察图象的对称性而得出结论,但要证明则只能依靠定义.解: 为奇函数.下面给出证明.当 时, ;当 时, 综上 为奇函数.说明:根据定义进行证明时,必须分别证明 和 时均有 成立,二者缺一不可.例6若函数 在 上是奇函数,试确定 的解析式.分析:欲求 的值,根据方程思想只需找出关于 的两个独立条件列方程,而列方程的依据是 是 上的奇函数.解:在 中,由 得 ,由 得 ,得 , .说明:由奇函数的定义得到 的制约条件时,应利用一般与特殊的思想让 取某两个特殊值即可.这个想法是建立在对奇函数定义中恒等关系的理解.例7已知函数 与 的定义域都是 ,值域分别是 与 ,在 上 是增函数而 是减函数,求证: 在 上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设 是 上的任意两个实数,且 ,则 是 上的增函数, 是 上的减函数,且 . , 即 , .又 的值域为 , 的值域为 , . 即 在 上为减函数.说明：此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在 的变形中涉及到增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出 与 的差和 与 的差.高考资源网 2006精品资料系列