1、第1课立体几何初步巩固层知识整合提升层题型探究由三视图求几何体的表面积与体积【例1】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1B.C.D2C根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD，在RtVBD中，VD.1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用1一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视
2、图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是_8由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V238.c【例2】如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1
3、平面AB1D1，所以当1时，BC1平面AB1D1.(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，得BC1D1O，所以，又由题可知，1，所以1，即1.1证明线线平行的依据(1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理2证明线面平行的依据(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理3证明面面平行的依据(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性2.如图，在多面体ABCDEF
4、中，四边形ABCD是正方形，AB2EF，EFAB，H为BC的中点，求证：FH平面EDB.证明连接AC交BD于点G，则G为AC的中点连接EG，GH，H为BC的中点，GH綊AB.又EF綊AB，EF綊GH，四边形EFHG为平行四边形，EGFH，EG平面EDB，FH平面EDB，FH平面EDB.垂直关系的判定和性质【例3】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PAAD，所以PA底面ABCD.(2)因为A
5、BCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.1两条异面直线相互垂直的证明方法(1)定义；(2)线面垂直的性质定理2直线和平面垂直的证明方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直
6、的性质定理3平面和平面相互垂直的证明方法(1)定义；(2)面面垂直的判定定理3如图，直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中点(1)求证：C1D平面AA1B1B；(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论解(1)证明：由题意知，A1C1B1C11，且A1C1B190.D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D.AA1A1B1A1，C1D平面AA1B1B.(2)点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.证明如下C1D平面A
7、A1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.易知A1B1，AA1，四边形AA1B1B为正方形又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，AB1DF，又DFC1DD，AB1平面C1DF.截面问题【例4】如图，已知正三棱锥SABC，过B和侧棱SA，SC的中点E，F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比思路探究构建截面，利用几何知识巧妙判断各棱之间的关系解取AC的中点M，连接SM，设SMEFD.如图在SAC中，E，F分别为SA，SC的中点，所以EFAC，所以，而SFFC，所以SDDM，所以D为SM的中点连接BD，BM.因为SABC为正三棱锥，所以SMAC.而ACEF，
8、所以SMEF，又截面BEF平面SAC，所以SMBD.又SDDM，所以SBM为等腰三角形，SBBM.设正三棱锥SABC的底面边长为a，则BMa，从而SASBSCBMa，又SMa，所以S侧3aaa2，S底a2，所以S侧S底1.在中学数学中，有关截面的问题主要有面积、距离和角的计算问题以及与截面的位置、形状、数量有关的证明和判定问题.在解有关截面问题时要注意：(1)截面的位置；(2)截面的形状及有关性质；(3)截面的元素及其相互关系；(4)截面的有关数量.4一个圆锥底面半径为R，高为R，求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值解如图，SAB为圆锥SO的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱
9、柱的底面对角线，要求棱柱的表面积，只要求出底面正方形边长及棱柱的高即可设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DEa.SDESAO，.AOR，SOR，hRa.S表2a24ah2a24a.整理得S表(22)2，0aR.220，R，当a时，S表有最大值.即圆锥的内接正四棱柱表面积最大值是R2.折叠问题【例5】在矩形ABCD中，已知ABAD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.思路探究运用线线垂直证明线面垂直，运用线面垂直证明面面垂直证明如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接AM，AN，MN，则MNBC.ABAD，E是AD的中点，ABAE
10、，ANBE.ACAD，AMCD.在矩形ABCD中，DCMN，又MNAMM，DC平面AMN，CDAN.EDBC，且EDBC，BE必与CD相交，AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题.求解折叠问题的两个关键点：(1)画好两个图折叠前的平面图和折叠后的立体图；(2)分析好两者之间的关系折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.5如图(1)所示，梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到CD的位置，如图(2)所示，G，H分别为AD，BC的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形证明梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，EFAB且EF(ABCD)翻折后，CDEF，CDAB.又G，H分别为AD，BC的中点，GHAB且GH(ABCD)(ABCD)，GH綊EF，四边形EFGH为平行四边形