1、12.5复数考纲展示1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义考点1复数的有关概念 复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是_，虚部是_(2)复数的分类(3)复数相等abicdi_(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi与cdi共轭_(a，b，c，dR)(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi|(a，bR)答案：(1)ab(2)(3)ac且bd(4)ac且bd(5)|z|abi|教材习题改编若复数zm1(m1)i为虚数，则实
2、数m的取值范围是_答案：(，1)(1，)解析：当虚部不等于0，即m1时，复数z为虚数.复数有关概念的误区：纯虚数；虚部；共轭复数(1)已知复数zm21(m1)i是纯虚数，则实数m_.(2)复数32i的虚部为_(3)复数23i的共轭复数是_答案：(1)1(2)2(3)23i解析：(1)由m210且m10，得m1.(2)实部为3，虚部为2.(3)复数23i的共轭复数是23i.典题1(1)2017江西九江模拟设复数z，则z的共轭复数为()A.i B.iC13i D13i答案B解析zi，i.(2)设i是虚数单位若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3答案D解析复数aa(a3)i为
3、纯虚数，a30，a3.(3)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.答案D解析(34i)z|43i|5，z，z的虚部为.(4)2016江苏卷复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_答案5解析(12i)(3i)35i2i255i，所以z的实部为5.点石成金求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解考点2复数的几何意义复数的几何意义(1)复平面的概念建立_来表示复数的平面叫做复平面(2)
4、实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做_，y轴叫做_，实轴上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示_(3)复数的几何表示复数zabi复平面内的点_平面向量_答案：(1)直角坐标系(2)实轴虚轴实数纯虚数(3)Z(a，b)(1)教材习题改编在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i，若点B是点A关于实轴的对称点，点C为点B关于虚轴的对称点，则点C对应的复数是_答案：2i解析：点C是点A关于原点的对称点，故其对应的复数是2i.(2)教材习题改编的共轭复数是z，则|z3i|_.答案：2解析：2i，所以z2i，所以|z3i|22i|2 .典题2(1)2017吉林长春质检复数的共轭复数对应的点位于()A第一
5、象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析i，所以其共轭复数为i.所以对应的点位于第一象限(2)在复平面内与复数z所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A12i B12iC2i D2i答案C解析依题意，得复数zi(12i)2i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(2,1)对应的复数为2i.(3)已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_答案1解析由条件，得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据，得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.点石成金对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及
6、向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观考点3复数的代数运算复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：i(cdi0)(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_.(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、
7、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.答案：(1)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)z2z1z1(z2z3)掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)2_；_；_.(2)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n3_，nN*.答案：(1)2iii(2)0典题3(1)2017吉林实验中学模拟设复数z1i(i是虚数单位)，则z2()A1i B1iC1i D1i答案A解析z2(1i)2
8、1i2i1i，故选A.(2)2016新课标全国卷若z12i，则()A1 B1 Ci Di答案C解析z(12i)(12i)5，i，故选C.(3)已知i是虚数单位，2 0166_.答案0解析原式1 00861 008i6i1 008i6i4252i421i20.点石成金复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.方法技巧1.设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复
9、数问题的常用方法2在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化3复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法4常见结论(1)(1i)22i；i；i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)易错防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数 真题演练集训 12016新课标全国卷已知z
10、(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)答案：A解析：由已知，可得3m1.故选A.22016山东卷若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z()A12i B12iC12i D12i答案：B解析：设zabi(a，bR)，则2z2(abi)abi3abi32i，a1，b2，z12i，故选B.32016四川卷设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4答案：A解析：T3Cx4i215x4，故选A.42016新课标全国卷设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则
11、|xyi|()A1 B. C. D2答案：B解析：x，yR，(1i)x1yi，xxi1yi，|xyi|1i|.故选B.52016天津卷已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_答案：2解析：由(1i)(1bi)a得1b(1b)ia，则解得所以2.62016北京卷设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.答案：1解析：(1i)(ai)(a1)(a1)i，aR，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，a10，a1. 课外拓展阅读 利用共轭复数的性质解复数方程复数方程是复数学习中的一个重要内容，解题时，不少学生总是迫不及待地将方程中的复数z设为代数形式abi
12、(a，bR)，将复数方程转化为实数方程解决这种方法有时候是非常费时费力的有没有解决此类问题的更简单的方法呢？共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位，若能在解复数方程时灵活运用，则可以大大减少运算量，起到事半功倍的效果共轭复数的性质有很多，在此列举几条供大家参考：(1)zRz；(2)z是纯虚数z0且z0或z2|z|2；(3)|z|2z；(4)|z|.这些性质的应用非常广泛，下面以例题的形式展现上述性质在解复数方程中的应用典例1在复数集中解下列方程：(1)2zi1；(2)z(，C，且|1)解(1)将原方程两边同时取共轭复数可得2iz1，联立方程得解得zi.(2)将原方程两边同时取共轭复数可得z，联立方程得从而(1)z.因为|1，所以10，所以z.方法探究求解本题(1)时，常设zabi(a，bR)，代入原方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求a，b.题(2)若用上述方法求解则非常繁琐典例2已知zC，解方程z3iz13i.解原方程可化为3iz3i1z，因为z|z|2R，所以3iz3i3i3i，所以(z)3i6i，所以z2.令zxyi(x，yR)，则x1.把z1yi代入原方程可得y10，y23，所以原方程的解为z11，z213i.方法探究本题巧妙利用zRz这一性质完成了解答本题也可以采用将原方程两边同时取共轭复数的方法解得z2.提醒 完成课时跟踪检测(七十四)