1、第2课时导数与函数单调性的应用1.命题甲:对任意x(a,b),有f(x)0;命题乙:f(x)在区间(a,b)内递增,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.已知函数f(x)=x3-ax-1的递减区间是(-1,1),则a的取值范围是()A.a3B.a0C.a=3D.a3解析:f(x)=3x2-a,由题意知-1与1是方程3x2-a=0的两个解,所以a=3.答案:C来源:学。科。网Z。X。X。K来源:1ZXXK3.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内递减,则实数a的取值范围是()A.1,+)B.a=1C.(-,1D.(0,1
2、)解析:f(x)=3x2-2ax-1.f(x)在(0,1)内递减,当x(0,1)时,f(x)0恒成立,即3x2-2ax-10恒成立.a3x2-12x=32x-12x.函数y=32x-12x在(0,1)上是增加的,来源:学*科*网Z*X*X*K0y-f(x)恒成立.若常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是()来源:Zxxk.ComA.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b)来源:1ZXXKC.af(a)bf(b)D.af(b)-f(x),xf(x)+f(x)0,来源:Zxxk.Comg(x)0,即g(x)在R上是增函数.又ab,g(a)g(b),即af(a)bf(b).来源:1ZXXK
3、答案:B5.已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f(x)12,则f(x)x2+12的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1C.x|x1D.x|x1解析:构造函数g(x)=f(x)-x2-12.来源:1ZXXK则g(x)=f(x)-12.来源:Zxxk.Comf(x)12,g(x)0,即g(x)在R上是减函数.g(1)=f(1)-1=0,g(x)过点(1,0)且递减,g(x)1.答案:D来源:学科网ZXXK6.若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是.解析:若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则y=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b0.
4、答案:(0,+)7.设p:f(x)=ln x+2x2+mx+1在区间(0,+)上是增加的,q:m-4,则p是q的条件.解析:f(x)=ln x+2x2+mx+1在区间(0,+)上是增加的,可知在(0,+)上,f(x)=1x+4x+m0恒成立,而1x+4x4,当且仅当x=12时等号成立,1x+4xmin=4,故只需要4+m0,即m-4即可.故p是q的充要条件.答案:充要8.已知函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.来源:学科网解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=4x-1x=4x2-1x.由f(x)0,得函数f
5、(x)的递增区间为12,+;由f(x)0,得函数f(x)的递减区间为0,12.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-112k+1,解得-12k32.又因为(k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-10,即k1.综上所述,1k32.答案:1k0,则2x3-ax20,x0,x3a2,即f(x)的递增区间是3a2,+.来源:1ZXXKf(x)在2,+)上是增加的,3a22,a16.故a的取值范围是(-,16.10.已知函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x-1).(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当nm0时,(1+n)m(1+m)n.来源:Z.xx.k.Com
6、(1)解由f(x)=x-(x+1)ln(x+1),知f(x)=-ln(x+1).当-1x0;当x0时,f(x)0),则g(x)=x1+x-ln(1+x)x2=x-(1+x)ln(1+x)x2(1+x).由(1)知,f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在(0,+)上是减少的,来源:Zxxk.Com故x-(1+x)ln(1+x)m0,所以g(n)g(m),得ln(1+n)nln(1+m)m,即mln(1+n)nln(1+m),故(1+n)m0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上是增加的.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的递增区间为(-,+).第 4 页
