1、上海市向明中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一.填空题1.线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是_【答案】【解析】【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出，即可得解.【详解】由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到二元线性方程组的表达式，故答案为：点睛】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的定义，计算量小，属于较容易的题型2.设，若，则_【答案】【解析】【分析】由向量相等得，解方程即得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.
2、为非零向量，且，则四边形的形状是_【答案】等腰梯形【解析】【分析】先通过向量证明,再证明,即可判断四边形ABCD的形状.【详解】因为，所以,所以，因为，所以AD=BC,所以四边形ABCD是等腰梯形.故答案为：等腰梯形【点睛】本题主要考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知向量、满足，则与的夹角的大小为_【答案】【解析】【分析】直接代向量的夹角公式即得与的夹角的大小.【详解】由题得与的夹角的余弦为，所以与夹角为.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.5.在等比数列中，已知，公比，且，则_【答案】【解析】【分析】由题得，
3、解方程即得的值.【详解】由题得，所以，所以，所以.故答案为：11【点睛】本题主要考查等比数列的性质和通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.若，则在方向上的投影是_【答案】【解析】【分析】直接代在方向上的投影公式即得解.【详解】由题得在方向上的投影为.故答案为：-2【点睛】本题主要考查在方向上的投影的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.设数列（）的首项且项和为，已知向量，满足，则该数列的各项和是_【答案】【解析】【分析】由得，所以数列为等比数列，再利用等比数列各项的和公式求解.【详解】由得，所以，所以数列是一个公比为的等比数列，所以该数列的各项的和为.故答案为：【点睛】本题
4、主要考查向量垂直的坐标表示，考查等比数列的性质的判定，考查等比数列各项的和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由数列是递增数列得到且且，解不等式即得解.【详解】因为是递增数列，所以且且，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查数列的单调性和分段函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.如图，正方形的边长为2，为中点，为正方形的边上的一个动点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】以点A为坐标原点，建立坐标系，对点M的位置分四种情况讨论，求出的最大值.【详解】如图所示，以点A为坐标原点，建立坐标系，则
5、.所以.(1)当点M在边AB上时，设,则，所以，所以当时，的最大值为2；（2）当点M在边BC上时，设,则，所以，所以当时，的最大值为2；（3）当点M在边CD上时，设,则，所以，所以当时，的最大值为0；（4）当点M在边AD上时，设,则，所以，所以当时，的最大值为1.综上所述，的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查数量积的坐标表示，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.设、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知，关于的方程的解_【答案】【解析】【分析】根据，即可得出，存在实数，使得，即可得出，从而可求出，这样即可得出，即可得出，代
6、入即可得出，从而求出【详解】，且、都是非零向量，其中任意两个都不平行；根据共线向量基本定理得，存在实数，使：；得：；根据平面向量基本定理得，；，；得：；由得：；故答案为：【点睛】本题主要考查共线向量和平面向量基本定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于 【答案】【解析】试题分析：由题意，得，则，即，所以的最大值为.考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.12.定义域为，且对任意实数、都满足不等式的所有函数组成的集合记为，例如，试写出一个函数，使得数列极限，则_【答案】【解析】【分析】验证函数，满足条件即可【详解】由题意知，函数，
7、当时，所以.当时，所以所以函数.且极限，故答案为：【点睛】本题主要考查了新定义的函数与极限的应用问题，也考查了分类讨论思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二.选择题13.某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元/斤，食用油的价格是15元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列哪个算式计算得到（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算出购买这两种商品的总花费，再计算矩阵比较即得解.【详解】由题得购买这两种商品的总花费为，又=，故选：D【点睛】本题主要考查矩阵的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知（），则（ ）A. B. C
8、. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算出，再求得解.【详解】由题得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识理解掌握水平.15.给出下列结论：若，则；、为不共线的非零向量，则；若，则；若非零向量、满足，则与垂直其中真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】对于，或，所以该命题是假命题；对于，利用数量积公式证明；对于，如果，则不一定相等，所以该命题是假命题；对于，利用数量积公式证明是真命题.【详解】对于，若，则或，所以该命题是假命题；对于，而，由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题；对于，若，如果，则不一定相等，
9、所以该命题是假命题；对于，若非零向量、满足，所以，则与垂直.所以该命题是真命题.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和运算，考查平面向量的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知（）是以（）为首项，以（）为公比的等比数列，设，则、中最大的取值为（ ）A. B. 与C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算，再作差比较大小即可【详解】由题意，最大故选：【点睛】本题考查数列的极限，关键是利用无穷等比数列和的极限公式，考查大小比较，属于基础题三.解答题17.若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列.（1）求数列的公比.（2）若，求的通项公式.【答案
10、】（1）公比为4；（2）【解析】【分析】（1）设，然后根据相关条件去计算公比；（2）由（1）的结论计算的表达式，然后再计算的通项公式.【详解】（1）设.，.，即的公比为4（2），即，当时，当时，符合，【点睛】（1）已知等差数列的三项成等比数列，可利用首项和公差将等式列出，找到首项和公差的关系；（2）利用计算通项公式时，要注意验证的情况.18.已知向量，.（1）试将向量表示成、线性组合；（2）若向量（），当与的夹角为钝角时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）且.【解析】【分析】（1）设，利用向量相等，列方程组求解即可；（2）由题得，由题得，解不等式组即得解.【详解】（1）设所以，所以.所以.（
11、2）由题得，因为与的夹角为钝角，所以，所以且.【点睛】本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.如图所示，设正方形的面积为1，正方形的面积为，正方形的面积为，它们的面积都比前者缩小，无限地作这种正方形.（1）求所有这种正方形面积的和；（2）点、，当无限增大时，求点无限地趋近哪一个点？（3）点、，写出点的坐标，当无限增大时，求点无限地趋近哪一个点？【答案】（1）2；（2）点无限地趋近点；（3），点无限地趋近于.【解析】【分析】（1）由题得所有的正方形的面积组成以1为首项，以为公比的等比数列，即得解；（2）由题得点的横坐
12、标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，再求点无限地趋近的点的坐标；（3）由题得点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，、，纵坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列求解.【详解】（1）由题得所有的正方形的面积组成以1为首项，以为公比的等比数列，所以所有这种正方形面积的和为.(2)由题得点,所以点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，当无限增大时，的横坐标无限趋近，所以当无限增大时，点无限地趋近点.（3）由题得点,所以点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，、，纵坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，所以点的横坐标为，点的纵坐标为.所以.当无限增大时
13、，点无限地趋近点.【点睛】本题主要考查等比数列的判断和求和，考查等比数列各项的和和极限，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.把一系列向量（）按次序排成一排，称之向量列，记作，向量列满足：，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项，若不存在，请说明理由；（3）设（）表示向量与的夹角，为与轴正方向的夹角，且，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）存在最小项，最小项为；（3）.【解析】【分析】（1）通过向量模的定义计算可知，再利用等比数列求数列的通项；（2）通过假设数列中的第项最小，找出数列的单调性计算即
14、得结论（3）通过向量数量积的定义可知，进而，则问题转化为解不等式，计算即得结论；【详解】（1）证明：由题得 ，数列是等比数列.因为，所以，所以.（2）结论：数列中存在最小项，最小项是理由如下：，假设数列中的第项最小，当时，有，即，整理得：，所以.所以由，得，所以又，故数列中存在最小项，最小项是（3），不等式恒成立，即恒成立，记，所以要使成立，只需，解得，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是：.【点睛】本题是一道关于数列与向量、不等式的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题21.我们知道，在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐
15、标系，同样地，在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为，点是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标，记为.若点、是斜坐标系（）中任意两点.（1）求点、之间的距离（用坐标表示）；（2）若点分有向线段成定比，请你推导点坐标在斜坐标系中的定比分点公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）过点A,B分别作坐标轴的平行线，则，,再利用余弦定理求；（2）设,设，所以，解方程组即得点P的坐标.【详解】（1）如图所示，过点A,B分别作坐标轴的平行线，则，,在ABC中，由余弦定理得.（2）如图，设,设，所以，所以，所以故点P的坐标为.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和定比分点，考查余弦定理解三角形和新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.