1、3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课时过关能力提升基础巩固1.已知直线 l1的倾斜角的正切值为-,直线 l2与 l1垂直,则 l2的斜率是()A.-B.-C.D.解析:设 l1的斜率为 k1,l2的斜率为 k2,则 k1=-,且 k1k2=-1.所以 k2=.答案:D2.已知直线 l1的斜率为 0,且 l1l2,则 l2的倾斜角为()A.0B.135C.90D.180解析:因为 =0,且 l1l2,所以 不存在,直线 l2的倾斜角为 90.答案:C3.下列命题:若两条不重合的直线的斜率相等,则它们平行;若两条直线平行,则它们的斜率相等;若两条直线的斜率之积为-1,则它们垂直;若两条直线垂直,
2、则它们的斜率之积为-1.其中正确的为()A.B.C.D.解析:当两条直线 l1,l2的斜率 k1,k2都存在且不重合时,l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1,故正确;当两条直线都与 x 轴垂直时,其斜率不存在,但它们也平行,故错;当两条直线中的一条直线与 x 轴平行(或重合),另一条直线与 x 轴垂直时,它们垂直,但一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在,故错.答案:B4.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与斜率为-2 的一条直线垂直,则 m 的值为()A.0B.-8C.2D.10解析:由题意,得 kAB=-,所以 -(-2)=-1,解得 m=2.答案:C5.若点 A(0
3、,1),B(,4)在直线 l1上,l1l2,则直线 l2的倾斜角为()A.30B.60C.150D.120解析:因为点 A(0,1),B(,4)在直线 l1上,所以 l1的斜率 k1=-.因为 l1l2,所以 l2的斜率 k2=-.所以直线 l2的倾斜角为 150.答案:C6.若直线 l1经过点 A(3,4),B(5,8),直线 l2经过点 M(1,-2),N(0,b),且 l1l2,则实数 b=.解析:设直线 l1的斜率为 k1,直线 l2的斜率为 k2.因为 l1l2,所以 k1=k2.则有-,解得 b=-4.答案:-47.若经过点 P(-2,-1)和点 Q(3,a)的直线与倾斜角是 45
4、的直线平行,则 a=.解析:由题意,得 tan45=1,解得 a=4.答案:48.已知ABC 的三个顶点分别是 A(2,2),B(0,1),C(4,3),点 D(m,1)在边 BC 的高所在的直线上,则实数m=.解析:由题意得 ADBC,则有 kADkBC=-1,所以有-=-1,解得 m=.答案:9.已知直线 l1,l2的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k2是关于 k 的方程 2k2-3k-b=0 的两个根,若 l1l2,则b=;若 l1l2,则 b=.解析:当 l1l2时,k1k2=-1,-=-1.b=2.当 l1l2时,k1=k2,=(-3)2+42b=0.b=-.答案:2-10.已知四
5、边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(1,2),B(-4,6),C(-8,5),D(-3,1),试判断四边形 ABCD 是不是平行四边形?解:AB 边所在直线的斜率 kAB=-=-,DC 边所在直线的斜率 kDC=-=-,BC 边所在直线的斜率 kBC=-,AD 边所在直线的斜率 kAD=-.因为 kAB=kDC,kBC=kAD,所以 ABDC,BCAD.所以四边形 ABCD 是平行四边形.能力提升1.若四边形 ABCD 的顶点分别为 A(4,5),B(1,1),C(5,3),D(8,7),则四边形 ABCD 为()A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.矩形解析:设直线 AB,CD,BC,AD
6、 的斜率分别为 kAB,kCD,kBC,kAD.因为 kAB=,kCD=,kBC=,kAD=,所以 ABCD,ADBC.但是 kBCkAB-1,即 ABCD 是平行四边形但不是矩形.答案:A2.已知直线 l1和 l2互相垂直且都过点 A(1,1),若 l1过原点 O(0,0),则 l2与 y 轴交点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(1,0)解析:设 l2与 y 轴交点的坐标为 B(0,b),l1l2,k1k2=-1.kOAkAB=-1.-=-1,解得 b=2,即 l2与 y 轴交点的坐标为(0,2).答案:B3.经过点 E(1,1)和点 F(-1,0)的直线与经过点
7、M(-)和点 N()(k0)的直线的位置关系是()A.平行B.重合C.平行或重合D.相交或重合解析:kEF=-,kMN=,又当 k=2 时,EF 与 MN 重合.答案:C4.已知点 A(-2,-5),B(6,6),点 P 在 y 轴上,且APB=90,则点 P 的坐标是 .解析:设 P(0,n),由于APB=90,则 PAPB,所以 kPAkPB=-1.所以 -=-1,解得 n=-6 或 n=7.答案:(0,-6)或(0,7)5.若 A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则下面四个结论:ABCD,ABCD,ACBD,ACBD.其中正确的序号是 .解析:kAB=-,kC
8、D=-,kAC=,kBD=-4,kAB=kCD,kACkBD=-1,ABCD,ACBD.答案:6.已知ABC 的顶点 B(2,1),C(-6,3),其垂心为 H(-3,2),则其顶点 A 的坐标为 .解析:设 A(x,y),ACBH,ABCH,且 kBH=-,kCH=-,-解得 -答案:(-19,-62)7.直线 l1经过点 A(m,1),B(-3,4),直线 l2经过点 C(1,m),D(-1,m+1),当 l1l2,l1l2时,分别求实数 m 的值.解:当 l1l2时,由于直线 l2的斜率存在,则直线 l1的斜率也存在,则 kAB=kCD,即 -,解得 m=3;当 l1l2时,由于直线 l
9、2的斜率存在且不为 0,则直线 l1的斜率也存在,则 kABkCD=-1,即 -=-1,解得 m=-.综上所述,当 l1l2时,m 的值为 3;当 l1l2时,m 的值为-.8.如图,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长 AD 为 5 m,宽 AB 为 3 m,其中一条小路定为 AC,另一条小路过点 D,问如何在 BC 上找到一点 M,使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直?解:如图,以点 B 为坐标原点,BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系.由 AD=5m,AB=3m,可得 C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点 M 的坐标为(x,0),因为 ACDM,所以 kACkDM=-1.所以-=-1,即 x=3.2,即 BM=3.2m 时,两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直.