1、1 考点规范练 43 点与直线、两条直线的位置关系 考点规范练 A 册第 32 页 基础巩固组1.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是()A.1B.2C.12D.4答案:B解析:由直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行可得63=4,则 m=8,直线 6x+8y+14=0 可化为 3x+4y+7=0.故 d=|-3-7|32+42=105=2.2.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为()A.32B.22C.33D.42导学号 92950
2、534答案:A解析:依题意知,AB 的中点 M 的集合为与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离相等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M 所在直线的方程为 l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|+7|2=|+5|2|m+7|=|m+5|m=-6,即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点 M 到原点的距离的最小值为|-6|2=32.3.若向量 a=(k+2,1)与向量 b=(-b,1)共线,则直线 y=kx+b 必经过定点()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)答案:A解析:因为向量 a=(k+2
3、,1)与向量 b=(-b,1)共线,则 k+2=-b,即 b=-2-k,于是直线方程化为 y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).4.平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点,D 点在直线 3x-y+1=0 上移动,则 B 点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=0答案:A解析:设 AC 的中点为 O,则 O(52,-2).2 设 B(x,y)关于点 O 的对称点为(x0,y0),即 D(x0,y0),则0=5-,0=-4-,由 3x0-y0+1=0 得 3x-y-2
4、0=0.5.如图所示,已知两点 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是()A.210B.6C.33D.25答案:A解析:易得 AB 所在的直线方程为 x+y=4,由于点 P 关于直线 AB 对称的点为 A1(4,2),点 P 关于 y 轴对称的点为 A2(-2,0),则光线所经过的路程即 A1(4,2)与 A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|=(4+2)2+(2-0)2=210.6.已知直线 l 的倾斜角为34,直线 l1经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l
5、1与 l 垂直,直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1平行,则 a+b=.答案:-2解析:l 的斜率为-1,则 l1的斜率为 1,kAB=2-(-1)3-=1,a=0.由 l1l2,得-2=1,b=-2,a+b=-2.7.已知点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距是 .导学号 92950535 答案:56解析:由题意得线段 AB 的中点为(-12,2),故3-11+2 =-1,2=(-12)+,解得 k=-32,b=54,所以直线方程为 y=-32x+54.令 y=0,即-32x+54=0,解得 x=56,故直线 y=
6、kx+b 在 x 轴上的截距为56.8.设 mR,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|PB|的最大值是 .3 答案:5解析:易知 A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直,即APB 为直角三角形,|PA|PB|2+|22=|22=102=5,当且仅当|PA|=|PB|=5时,等号成立.9.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时,l1与 l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?解:(1)当 m=-5 时,显然 l1与 l2相交但不垂直;当 m-5 时,两
7、直线 l1和 l2的斜率分别为 k1=-3+4,k2=-25+,它们在 y 轴上的截距分别为b1=5-34,b2=85+.由 k1k2,得-3+4-25+,即 m-7 且 m-1.则当 m-7 且 m-1 时,l1与 l2相交.(2)由1=2,1 2,得-3+4=-25+,5-3485+,得 m=-7.则当 m=-7 时,l1与 l2平行.(3)由 k1k2=-1,得(-3+4)(-25+)=-1,m=-133.则当 m=-133 时,l1与 l2垂直.导学号 9295053610.过点 P(3,0)作一直线 l,使它被两直线 l1:2x-y-2=0 和 l2:x+y+3=0 所截的线段 AB
8、 以 P 为中点,求此直线 l 的方程.解:设直线 l 的方程为 y=k(x-3),将此方程分别与 l1,l2的方程联立,得=(-3),2-2=0和 =(-3),+3=0.解得 xA=3-2-2 和 xB=3-3+1,P(3,0)是线段 AB 的中点,由 xA+xB=6,得3-2-2+3-3+1=6,4 解得 k=8.故直线 l 的方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.能力提升组11.点 P 到点 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且 P 到直线 y=x 的距离等于22,这样的点 P 共有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案:C解析:设 P(x,y),由题意知(
9、-1)2+2=|x+1|且22=|-|2,所以2=4,|-|=1,即 2=4,-=1 或2=4,-=-1,解得有两根,有一根.12.已知 M=(,)|-3-2=3,N=(x,y)|ax+2y+a=0,且 MN=,则 a=()A.-6 或-2B.-6C.2 或-6D.-2答案:A解析:集合 M 表示去掉一点 A(2,3)的直线 3x-y-3=0,集合 N 表示恒过定点 B(-1,0)的直线 ax+2y+a=0,因为 MN=,所以两直线要么平行,要么直线 ax+2y+a=0 与直线 3x-y-3=0 相交于点 A(2,3).因此-2=3 或 2a+6+a=0,即 a=-6 或 a=-2.13.已知
10、曲线|2|3=1 与直线 y=2x+m 有两个交点,则 m 的取值范围是()A.(-,-4)(4,+)B.(-4,4)C.(-,-3)(3,+)D.(-3,3)导学号 92950537答案:A解析:曲线|2|3=1 的草图如图所示.由该曲线与直线 y=2x+m 有两个交点,可得 m4 或 m0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且 l1与 l2间的距离是7510.(1)求 a 的值;(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:点 P 在第一象限;点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的12;点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是2 5.若能,求
11、点 P 的坐标;若不能,说明理由.解:(1)直线 l2:2x-y-12=0,所以两条平行线 l1与 l2间的距离为 d=|-(-12)|22+(-1)2=7510,所以|+12|5=7510,即|+12|=72,又 a0,解得 a=3.(2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0).若 P 点满足条件,则 P 点在与 l1,l2平行的直线 l:2x-y+c=0 上,且|-3|5=12|+12|5,即 c=132 或 116,所以 2x0-y0+132=0 或 2x0-y0+116=0;若 P 点满足条件,由点到直线的距离公式,有|20-0+3|5=25|0+0-1|2,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0;由于点 P 在第一象限,所以 3x0+2=0 不可能.联立方程 2x0-y0+132=0 和 x0-2y0+4=0,解得0=-3,0=12(舍去);联立方程 2x0-y0+116=0 和 x0-2y0+4=0,解得0=19,0=3718.所以存在点 P(19,3718)同时满足三个条件.导学号 92950539
