1、直线、平面平行的判定与性质1线面平行的判定定理与性质定理1在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法不正确的是（）A点的轨迹是一条线段B与是异面直线C与不可能平行D三棱锥F-ABD1的体积为定值【答案】C【解析】对于A设平面与直线交于点，连接、，则为的中点，分别取，的中点，连接，则易得，又平面，平面，平面，同理可得平面，、是平面内的相交直线，平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上的动点A正确；对于B假设直线共面，由题意点在侧面上，且三点不共线，所以直线共面于侧面，则平面，这就与在正方体中，平面相矛盾，故假设不成立，即与是异面直线，B正确；对于C，连接，由分别
2、为的中点，则，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，故当点与点重合时，与平行，C错误；对于D，由选项A的过程可知，又，所以，又，分别为，的中点，所以，所以，则，平面，平面，所以平面，则到平面的距离是定值，三棱锥F-ABD1的体积为定值，所以D正确，故选C2已知直三棱柱中，点D是AB的中点（1）求证：平面；（2）若底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）连接交于点E，连接DE，四边形是矩形，E为的中点，又D是AB的中点，又平面，平面，面（2），D是AB的中点，又面ABC，面ABC，又面，面，面，CD为三棱锥的高，又，三棱锥的体积3如图，
3、在四棱锥中，平面平面ABCD，E为棱PC的中点（1）证明：平面PAD；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在四棱锥中，取线段PD的中点F，连接AF，EF，如图，因E为棱PC的中点，则，而，于是得，即四边形ABEF是平行四边形，有，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD（2）在四棱锥中，在平面内过P作交CD于O，连接AO，因平面平面ABCD，平面平面，则平面，平面，即有，因，则，而，有，则，显然OA，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量，则，令得：；设平面的一个法向量，则，令得：，则，显然二面角的平面角为锐角，所以
4、二面角的余弦值是4如图，分别是正三棱柱的棱，的中点，且棱，（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在线段上取中点，连接、因为是的中位线，所以，且又因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：取中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以是等边三角形，所以分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则因为平面的一个法向量为，所以，所以锐二面角的余弦值为5如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面（1）试确定点的位置，并证明平面；（2）若是等边三角形，且平面平面，求四面体的体积
5、【答案】（1）延长，交的延长线于点N，证明见解析；（2）【解析】（1）延长，交的延长线于点N，平面，平面又，平面，点N即为所求连接，交直线于点O，连接OM，又M为线段的中点，即M为线段NB的中点在三棱柱中，四边形为平行四边形，O为线段中点，OM为中位线，又平面，平面，平面（2）取线段的中点G，连接由条件知，为等边三角形，且平面平面，平面平面，平面，平面，即是三棱锥的高又，由（1）知，四面体的体积6如图所示，在三棱锥中，平面，分别是，的中点，与交于点，与交于点，连接（1）求证：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为，分别是，的中点，所以，所以又平面，平面，所以
6、平面又平面，平面平面，所以又，所以（2）在中，所以又平面，所以，两两垂直以为坐标原点，分别以，所在直线为轴轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以，设平面的一个法向量为，由，得，取，得设平面的一个法向量为，由，得，取，得设二面角为，由图象知二面角为锐角，则7如图，三棱锥中，AC，BC，PC两两垂直，E，F分别是棱AC，BC的中点，的面积为8，四棱锥的体积为4（1）若平面平面，证明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面平面，平面PEF，所以（2）解：因为AC，BC，PC两两垂直，
7、AC，平面ABC，所以平面ABC，所以PC是四棱锥的底面ABFE上的高，因为，所以因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，即以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，所以，设平面EFP的一个法向量为，所以，可得，令，所以，即，又由平面，所以平面的一个法向量为，所以，由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为8将一本书打开后竖立在桌面上（如图），P，Q分别为AC，BE上的点，且求证：平面【答案】证明见解析【解析】依题意，矩形ABCD与矩形BCEF是全等的，则有AC=BE，因P，Q分别为AC，BE上的点，过P作PM/BC交AB于M，过Q作QN/
8、BC交BF于N，连MN，如图，而，QN/EF，于是得，又BC=EF，因此有PM=QN，显然有PM/QN，从而有四边形PMNQ是平行四边形，则PQ/MN，而平面，平面，所以平面9已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，且，是棱上的动点（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，又，在平面内，所以平面，又平面，所以平面平面（2）如图，连接，相交于点，因为平面，面，面面，所以，所以2面面平行的判定定理与性质定理1（多选）在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MN
9、P的图形是（）ABCD【答案】AB【解析】对选项A，如图所示：因为，分别为其所在棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A正确；对选项B，如图所示：因为，分别为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确；对选项C，如图所示：因为，分别为其所在棱的中点，所以为的等分点，所以与必相交，即与平面的位置关系为相交，故C错误；对选项D，如图所示：因为，分别为其所在棱的中点，所以，点在平面内，又因为平面，所以与平面的位置关系为相交，故D错误，故选AB2如图，在正方体中，分别是棱、的中点，是的中点，点
10、在四边形及其内部运动，则满足_时，有平面【答案】【解析】连接，因为，分别是棱、，的中点，所以，因为平面，平面，所以面，同理可得面，因为，平面，所以平面平面，又因为点在四边形及其内部运动，平面，故当时，平面，故答案为3如图，在正方体中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：（1）EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B1【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图所示，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EGSB，又因为SB平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1（2）如图所示，连接SD，因为F，G
11、分别是CD，SC的中点，所以FGSD，又因为SD平面BDD1B1，且FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，又由EG平面BDD1B1，EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B14如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，、分别是，的中点（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q，它就是点【解析】（1）证明：、分别是，的中点，四边形为平行四边形，可得，因为平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面平面（2）假设在线段上存在一点使平面四
12、边形是正方形，因此点为点不妨取，如图建立空间直角坐标系，则，所以，又，平面，所以平面，在线段上存在一点，使平面，其中点为点5如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，ABAD，PAPD，ADCD，BAD60，M，N分别为AD，PA的中点（1）证明：平面BMN平面PCD；（2）若AD6，求三棱锥PBMN的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接BD，ABAD，BAD60，ABD为正三角形M为AD的中点，BMADADCD，CD，BM平面ABCD，BMCD又BM平面PCD，CD平面PCD，BM平面PCDM，N分别为AD，PA的中点，MNPD又MN平面PCD，P
13、D平面PCD，MN平面PCD又BM，MN平面BMN，BMMNM，平面BMN平面PCD（2）在（1）中已证BMAD平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BM平面ABCD，BM平面PAD又AD6，BAD60，在PAD中，PAPD，PAPD，M，N分别为AD，PA的中点，PMN的面积，三棱锥PBMN的体积6如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为棱，的中点（1）证明：平面；（2）若，求点到面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设与交于点，连接，如下图所示：因为底面为矩形，则为和的中点，因为，分别为棱，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理，平面，因为，且平面，平面
14、，所以平面平面，因为平面，所以平面（2）由，易得，的面积，因为平面，平面，所以，故的面积为，设点到面的距离为，由得，即，从而，故点到面的距离为7如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BC/AD，AD2BC2PA2AB2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点（1）证明：直线PF/平面ACG；（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，因为BC/AD，且，ABAD，所以四边形ABCE为矩形，所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，所以OG为PBE的中位线，即OGPE，因为OG平面PE
15、F，PE平面PEF，所以OG/平面PEF，因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF/AC，因为AC平面PEF，EF平面PEF，所以AC/平面PEF，因为OG平面GAC，AC平面GAC，ACOGO，所以平面PEF/平面GAC，因为PF平面PEF，所以PF/平面GAC（2）因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，因为ABAD，所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，设平面ACG的法向量为，则
16、，所以，令，可得，所以，设直线PD与平面ACG所成角为，则，所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为8如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由【答案】存在，点F是PB的中点，证明见解析【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，OFPD又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD又MAPB且PB2MA，PFMA且PFMA，四边形AFPM是平行四边形，AFPM又
17、AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面PMD9如图，在长方体中，P是中点（1）求证：直线平面PAC；（2）在棱上求一点Q，使得平面平面，并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）取的中点Q，则平面平面，证明见解析【解析】（1）连接BD交AC于O点，连接OP，因为O为矩形对角线的交点，则O为BD的中点，又P为的中点，则，又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC（2）取的中点Q，则平面平面，证明：因为P为的中点，Q为的中点，四边形与长方体的上下底面相交AC，则，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，同理可得平面PAC，又，平面，平面，所以平面平面10在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面；（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）分别是的中点，平面，平面，平面，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面（2）连接交于O，连接，由平面平面，且平面平面，平面平面，则，又由题设，即