1、9.6 双曲线-2-知识梳理 双基自测 2311.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 .注:若点M满足|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a0,c0.(1)当 时,点M的轨迹是双曲线;(2)当 时,点M的轨迹是两条射线;(3)当 时,点M的轨迹不存在.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距ac -3-知识梳理 双基自测 2312.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)图形 -4-知识梳理
2、双基自测 231标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)性质 范围 xa 或 x-a,yR xR,y-a 或 ya 对称性 对称轴:坐标轴对称中心:原点 对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A1 ,A2 顶点坐标:A1 ,A2 渐近线 y=y=离心率 e=,e(1,+),其中 c=2+2 (-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)x x-5-知识梳理 双基自测 231标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)性质 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的 ,它的长|A1A2|=;线段 B1B2 叫做双曲线
3、的 ,它的长|B1B2|=;叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(ca0,cb0)实轴 2a 虚轴 2b a b -6-知识梳理 双基自测 2313.常用结论(1)渐近线的斜率与离心率的关系(2)若P为双曲线上一点,F为其对应的焦点,则|PF|c-a.(3)区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中,a2=b2+c2,而在双曲线中,c2=a2+b2.双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线的斜率=2-1.2-7-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)双曲线方程22 22=(m0,n0,0)的
4、渐近线方程是22 22=0,即 =0.()(2)关于 x,y 的方程2 2=1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.()(3)与双曲线2 2=1(其中 mn0)共渐近线的双曲线方程可设为2 2=(0).()(4)等轴双曲线的离心率等于 2,且渐近线互相垂直.()(5)若双曲线22 22=1(a0,b0)与22 22=1(a0,b0)的离心率分别是 e1,e2,则 112+122=1.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-8-知识梳理 双基自测 234152.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3mC.3D.3m 答
5、案 解析 解析 关闭双曲线 C 的标准方程为 23 23=1(m0),其渐近线方程为y=x,即 y=x,不妨选取右焦点 F(3+3,0)到其中一条渐近线 x-y=0 的距离求解,得 d=3+3+1=3.故选 A.答案 解析 关闭A-9-知识梳理 双基自测 234153.若实数 k 满足 0k9,则曲线225 29-=1 与曲线 225-29=1 的()A.焦距相等B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等D.离心率相等 答案 解析 解析 关闭由 0k0),过其右焦点 F 作圆 x2+y2=9 的两条切线,切点记作 C,D,双曲线的右顶点为E,CED=150,则双曲线的离心率为 .答案 答案 关闭2 3
6、3-11-知识梳理 双基自测 23415解析 如图,双曲线29 22=1(b0),过其右焦点 F 作圆 x2+y2=9 的两条切线,切点记作 C,D,双曲线的右顶点为 E,CED=150,FOC=180-2OEC=30,OCF=90,OC=a,OF=c,CF=12c,a2+12 2=c2,解得 c=2 33 a,e=2 33.-12-知识梳理 双基自测 234155.(2016 江苏,3)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线27 23=1 的焦距是 .答案 解析 解析 关闭a2=7,b2=3,c2=a2+b2=7+3=10.c=10.2c=2 10.答案 解析 关闭2 10 -13-考点1 考
7、点2 考点3 考点 1 双曲线的定义及其标准方程 例1(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos F1PF2=.思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?(3)已知 F 是双曲线 C:x2-28=1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).当APF 的周长最小时,该三角形的面积为 .-14-考点1 考点2 考点3 答案:(1)x2-28=1(x-1)(2)34(3)12 6
8、 解析:(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点 M 的轨迹方程为 x2-28=1(x-1).-15-考点1 考点2 考点3(2)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|P
9、F2|=2a=2 2,所以|PF1|=2|PF2|=4 2,所以 cos F1PF2=|1|2+|2|2-|12|22|1|2|=(4 2)2+(2 2)2-4224 22 2=34.(3)由双曲线方程 x2-28=1 可知,a=1,c=3,故 F(3,0),F1(-3,0).当点 P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,从而APF 的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|.因为|AF|=32+(6 6)2=15 为定值,所以当(|AP|+|PF1|)最小时,APF 的周长最小,由图象可知,此时点 P 在线
10、段 AF1 与双曲线的交点处(如图所示).-16-考点1 考点2 考点3-17-考点1 考点2 考点3 由题意可知直线 AF1 的方程为 y=2 6x+6 6.由 =2 6+6 6,2-28=1,得 y2+6 6y-96=0,解得 y=2 6或 y=-8 6(舍去),所以 SAPF=1 1=1266 6 1262 6=12 6.-18-考点1 考点2 考点3 解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF
11、2|的联系.-19-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8(2)已知F为双曲线C:的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为 .29 216=1 答案:(1)B(2)44-20-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由题意知a=1,b=1,c=2,故|F1F2|=22.在PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2=8,即|PF1|2
12、+|PF2|2-|PF1|PF2|=8,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,-,得|PF1|PF2|=4.-21-考点1 考点2 考点3(2)如图所示,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,故PQF周长为28+4b=44.-22-考点1 考点2 考点3 考点 2 双曲线的几何性质(多考向)考向一 已知离心率求渐近线方程例 2 已知 ab0,椭圆 C1 的方程为22+22=1,双曲线 C2
13、 的方程为22 22=1,C1与C2的离心率之积为 32,则C2的渐近线方程为()A.x 2y=0 B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?答案 解析 解析 关闭椭圆 C1 的离心率为 2-2,双曲线 C2 的离心率为 2+2,所以 2-2 2+2=32,所以 a4-b4=34a4,即 a4=4b4,所以 a=2b,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=1 2x,即 x 2y=0.答案 解析 关闭A-23-考点1 考点2 考点3 考向二 已知渐近线方程求离心率例 3 设 F1,F2 分别为双曲线22 22=1(a0,b0)的左、右焦点,A为双曲线
14、的一个顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B,C 两点,若ABC 的面积为12c2,则该双曲线的离心率为()A.3B.2C.3D.2思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?答案 解析 解析 关闭设双曲线的一条渐近线方程为 y=x,即为 bx-ay=0,则 A(a,0)到这条渐近线的距离为 d=2+2=.因为ABC 的面积为12c2,所以122c=12c2,即 4a2b2=c4,即 4a2(c2-a2)=c4,即 c2=2a2,即 c=2a,所以 e=2.答案 解析 关闭D-24-考点1 考点2 考点3 考向三 由离心率或渐近线方程确定双曲线方程 例 4(2016 天津,理 6
15、)已知双曲线24 22=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为()A.24 324=1 B.24 423=1C.24 24=1 D.24 212=1 思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?答案 解析 解析 关闭根据对称性,不妨设点 A 在第一象限,其坐标为(x,y),于是有 2+2=4=2 =4 2+4,=4 2+4 2,则 xy=162+4 2=2 b2=12.故所求双曲线的方程为24 212=1,故选 D.答案 解析 关闭D-25-考点1 考点2 考点3 考向四 利用渐近线与已知
16、直线位置关系求离心率范围 思考如何求双曲线离心率的取值范围?例 5 已知双曲线22 22=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)答案 解析 解析 关闭因为双曲线的一条渐近线方程为 y=x,则由题意得2,所以 e=1+2 1+4=5.答案 解析 关闭C-26-考点1 考点2 考点3 2.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程.3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用
17、三角或不等式解决问题.解题心得 1.双曲线的离心率与渐近线有密切联系,可通过公式=2-1来反映.求双曲线的离心率的一般思路就是根据已知条件建立起实半轴长 a 与虚半轴长 b 之间的关系,再结合 c2=a2+b2,从而求出的值.-27-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于32,则 C 的方程是()A.24 2 5=1 B.24 25=1C.22 25=1D.22 2 5=1(2)已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,ABM 为等腰三角形,且顶角为 120,则 E 的离心率为()A.5B.2C.3D.2(
18、3)(2016 北京,理 13)双曲线22 22=1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=.(4)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为 y=12x,则该双曲线的标准方程为.-28-考点1 考点2 考点3 答案：(1)B(2)D(3)2(4)24-y2=1 解析：(1)由曲线 C 的右焦点为 F(3,0),知 c=3.由离心率 e=32,知=32,则 a=2,所以 b2=c2-a2=9-4=5,故双曲线 C 的方程为24 25=1.(2)设双曲线的标准方程为22 22=1(a0,b0),点
19、M 在右支上,如图所示,ABM=120,过点 M 向 x 轴作垂线,垂足为 N,则MBN=60.-29-考点1 考点2 考点3 AB=BM=2a,MN=2asin 60=3a,BN=2acos 60=a.点 M 坐标为(2a,3a),代入双曲线方程22 22=1,整理,得22=1,即22=1.e2=1+22=2,e=2.-30-考点1 考点2 考点3(3)四边形 OABC 是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为 y=x.=1,即 a=b.又|OB|=2 2,c=2 2.a2+b2=c2,即 a2+a2=(2 2)2,可得 a=2.(4)由渐近线方程 y=12x
20、,可设双曲线的标准方程为24-y2=(0),将点(4,3)代入得=1,故双曲线的标准方程为24-y2=1.-31-考点1 考点2 考点3 考点 3 直线与双曲线的位置关系 例 6 如图,已知双曲线 C:22-y2=1(a0)的右焦点 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AFx 轴,ABOB,BFOA(O 为坐标原点).(1)求双曲线 C 的方程;(2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y00)的直线 l:02-y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x=32相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时,|恒为定值,并求此定值.思考直线与双曲线的位置关系的判断的常见方法有哪些?
21、-32-考点1 考点2 考点3 解(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c=2+1,直线 OB 的方程为 y=-1x,直线 BF 的方程为 y=1(x-c),解得B 2,-2.又直线 OA 的方程为 y=1x,则 A,kAB=-2-2=3.又因为 ABOB,所以3 -1=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为23-y2=1.-33-考点1 考点2 考点3(2)由(1)知 a=3,则直线 l 的方程为03-y0y=1(y00),即y=0-330.因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点 M 2,20-330 ;直线 l 与直线 x=32的交点 N 32,320
22、-330 .则|2|2=(20-3)2(30)214+320-3 2(30)2=(20-3)29024+94(0-2)2=43(20-3)2302+3(0-2)2,-34-考点1 考点2 考点3 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则023 02=1,代入上式得|2|2=43(20-3)202-3+3(0-2)2=43(20-3)2402-120+9=43.所求定值为|=2 3=2 33.-35-考点1 考点2 考点3 解题心得直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但是联立直线方程与双曲线方程消元后,注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”.-36-考
23、点1 考点2 考点3 对点训练 3(2016 上海,文 21)双曲线 x2-22=1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 过 F2且与双曲线交于 A,B 两点.(1)若 l 的倾斜角为2,F1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设 b=3,若 l 的斜率存在,且(1 +1 )=0,求 l 的斜率.解(1)设 A(xA,yA).由题意,F2(c,0),c=1+2,2=b2(c2-1)=b4,因为F1AB 是等边三角形,所以 2c=3|yA|,即 4(1+b2)=3b4,解得 b2=2.故双曲线的渐近线方程为 y=2x.-37-考点1 考点2 考点3(2)由已知,F1(-2
24、,0),F2(2,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:y=k(x-2).显然 k0.由 2-23=1,=(-2),得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因为 l 与双曲线交于两点,所以 k2-30,且=36(1+k2)0.设 AB 的中点为 M(xM,yM).由(1 +1 )=0,即1 =0,知 F1MAB,故1 k=-1.而 xM=1+22=222-3,yM=k(xM-2)=62-3,1=322-3,所以 322-3 k=-1,得 k2=35,故 l 的斜率为 155.-38-易错警示忽视判别式而致误典例已知双曲线 x2-22=1,过点 P(1,1)能否作一条直线
25、 l,与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?-39-解设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),且线段 AB 的中点为(x0,y0),若直线 l的斜率不存在,则显然不符合题意.设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),即 y=kx+1-k.由 =+1-,2-22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20).则 x0=1+22=(1-)2-2.由题意,得(1-)2-2=1,解得 k=2.当 k=2 时,方程成为 2x2-4x+3=0.=16-24=-80,方程没有实数解.故不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段AB 的中点.-40-反思提升 以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.