1、23.2圆与圆的位置关系考纲定位重难突破1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程3.了解用代数方法处理几何问题的思想.重点：对两圆内切、外切时位置关系的判断和应用难点：常与方程、有关圆的平面几何知识结合命题方法：用坐标法解决与圆有关的平面几何问题.授课提示：对应学生用书第53页自主梳理圆与圆的位置关系及判定已知两圆C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d|C1C2|.则两圆C1，C2有以下位置关系位置关系公共点个数圆心距与半径图形表示两
2、圆相离0,dr1r2两圆内含d|r1r2|两圆相交,2|r1r2|dr1r2两圆内切1d|r1r2|两圆外切dr1r2, 双基自测1圆(x2)2(y2)29与圆x2y21的位置关系是()A相离 B外切C相交 D内含解析：两圆的圆心分别是(2，2)，(0,0)，半径分别是3和1，所以圆心距为2，22，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线答案：D4已知两圆x2y210和(x1)2(y3)230相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析：把圆(x1)2(y3)230的方程化为x2y22x6y20，与圆x2y210两边相减，得2x6y10，即x3y50为直线AB的方程答案：x3y505已知两圆x2y21
3、和(x2)2(ya)225没有公共点，则实数a的取值范围为_解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(2，a)，半径分别为1,5，圆心距d.两圆没有公共点，51或51，解得2a2或a4或a4.答案：(，4)(2，2)(4，)授课提示：对应学生用书第54页探究一圆与圆的位置关系判定典例1已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x0.(1)当m1时，圆C1与圆C2是什么关系？(2)当m4时，圆C1与圆C2是什么关系？(3)若两圆有三条公切线，求实数m的值；(4)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？解析(1)m1.两圆的方程分别可化为C1：(x1)2(y2)29.C2：(x1)2
4、y21.两圆的圆心距d2，又r1r2314，|r1r2|31|2，|r1r2|dr1r2.圆C1与圆C2相离(3)圆C1的方程为(xm)2(y2)29，圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的方程为(x1)2y21，圆心C2(1,0)，半径r21，当两圆有三条公切线时，它们相外切，因此|C1C2|r1r2，即4，解得m12.(4)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则31，即(m1)220，显然不等式无解故不存在m使得圆C1与圆C2内含1判断两圆的位置关系，通常采用几何法，而不是用两圆公共点的个数来判断，因为它们之间并不是一一对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆没有公
5、共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系2利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行：(1)计算两圆的半径r1，r2；(2)计算两圆的圆心距d; (3)得出d，r1，r2之间的等量(不等量)关系；(4)判断两圆的位置关系1当a为何值时， 两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230的位置关系为：(1)外切？(2)相交？(3)外离？解析：将两圆的一般方程写成标准方程得，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24，所以两圆的圆心和半径分别为：C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a
6、26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆相切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a2.(3)当d5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a5.探究二圆与圆相切的问题典例2试求与圆(x2)2(y1)24相切于点(4，1)，且半径等于1的圆的方程解析设所求圆的圆心为P(a，b)，所以1.若两圆外切，则有123.由，解得a5，b1.所以所求圆的方程为(x5)2(y1)21.若两圆内切，则有211.由，解得a3，b1.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)21.综上，可知所求圆的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21.求公切线的
7、五个步骤(1)判断公切线的条数(2)设出公切线的方程(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线(5)归纳总结注意对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数2求与圆M：(x1)2y21外切，且与直线xy0相切于点Q(3，)的圆N的方程解析：设所求圆N的圆心为N(a，b)，半径为r.因为所求圆N与直线xy0相切于点Q(3，)，所以直线NQ垂直于直线xy0，所以kNQ，即ba4，圆N的半径r|NQ|2|a3|.因为圆N与圆M：(x1)2y21外切，所以|MN|1r12|a3|，即12|a3|.对该式讨论如下：当a3时，可得a4，
8、b0，r2，所以圆N的方程为(x4)2y24；当a3时，可得a0，b4，r6，所以圆N的方程为x2(y4)236.于是所求圆N的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.探究三圆与圆相交的问题典例3已知圆O：x2y225和圆C：x2y24x2y200相交于A，B两点(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求AB所在直线的方程；(3)求公共弦AB的长度解析(1)由于两圆相交于A，B两点，所以线段AB的垂直平分线就是两圆的圆心的连线又圆O：x2y225的圆心O(0,0)，圆C：(x2)2(y1)225的圆心C(2,1)，所以kOC，由点斜式得yx，即x2y0.故AB的垂直平分线的方程为x2y0
9、.(2)将两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程为4x2y50.(3)圆x2y225的圆心到直线AB的距离d，所以公共弦AB的长|AB|22.1两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法：若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20，即两圆方程相减即得2公共弦长的求法：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解3已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x
10、2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长解析：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，得：3x4y60.A，B两点的坐标都满足此方程，3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆C1的圆心(1,3)，半径r3.又C1到直线AB的距离为d.|AB|2 2 . 即两圆的公共弦长为.巧用圆系方程解题典例求圆心在直线xy0上，且过两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的交点的圆的方程解析设所求圆的方程为x2y22x10y24(x2y22x2y8)0，即(1)x2(1)y2(22)x(210)y8240，同除以1可得，x2y2xy0，此圆的
11、圆心P.又因为圆心在直线xy0上，所以0，得2.所以所求圆的方程为x2y26x6y80.感悟提高1.一般地，过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆的方程可设为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程2利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要准确最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)随堂训练对应学生用书第55页1圆C1：x2y24x4y70和圆C2：x2y24x10y130的公切线有()A1条B3条C4条 D以上均不正确解析：C1(2,2)，r11，C2
12、(2,5)，r24，|C1C2|5r1r2，两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B.答案：B2圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为()Axy10 B2xy10Cx2y10 Dxy10解析：圆x2y22x50化为标准方程是(x1)2y26，其圆心是(1,0)；圆x2y22x4y40化为标准方程是(x1)2(y2)29，其圆心是(1,2)线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确答案：A3已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)217或(x5)2(y
13、7)215C(x5)2(y7)29D(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)29解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则41，(x5)2(y7)225；若动圆与已知圆内切，则41，(x5)2(y7)29.答案：D4求半径为4，与圆(x2)2(y1)29相切，且和直线y0相切的圆的方程解析：设所求圆C的方程为(xa)2(yb)2r2.圆C与直线y0相切且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，4)，已知圆(x2)2(y1)29的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，则|CA|437，或|CA|431.当圆心为C1(a,4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故可得a22，所求圆的方程为(x22)2(y4)216，或(x22)2(y4)216.当圆心为C2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，a22.所求圆的方程为(x22)2(y4)216，或(x22)2(y4)216.
