1、2.3等差数列的前n项和 第一课时推进新课教师出示投影胶片1：印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)生 只要计算出1+2+3+100的结果就是这些宝石的总数.师 对，问题转化为求
2、这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？合作探究师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?生 这是求“1+2+3+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是.师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况
3、就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+21，21+20+19+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列an的前n项的和Sn?生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+an，Sn=an+an-1+a2+a1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，所以.()生2 对于问题(2)，我是
4、这样来求的：因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+a1+(n-1)d，所以Sn=na1+1+2+3+(n-1)d=na1+d,即Sn=na1+ d.()教师精讲两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式()是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)高2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.方法引导师 如果已知等差数列的首项a1，项数
5、为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式()来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式()来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生 每个公式中都是5个量.师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).师 当公差d0时，等差数列an的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.知识应用【例1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+n；(2)1+3+5+(2n-1)；(3)2+4+6+2n；(4)1-2+3-4+5-6+(2n-1
6、)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)(3)，并请一位同学回答.生 (1)1+2+3+n=；(2)1+3+5+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+2n= =n(n+1).师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= -(2+4+6+2n)=n2-n(n+1)=-n.生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+(-1
7、)=-n.师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】 （课本第49页例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 22
8、0，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？生 必须要确定首项a1与公差d.师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.(解答见课本第50页)师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.合作探究师 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子
9、，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?生 从所给的和的公式出发去求出通项.师 对的，通项与前n项的和公式有何种关系?生 当n=1时，a1=S1，而当n1时，an=Sn-Sn-1.师 回答的真好!由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n2时，an=Sn-S n-1，即an=S1(n=1),Sn-S n-1(n2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-，我们从中知它是等差数列，这时当n=1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时，an=Sn-Sn-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.生1 这
10、题中当n=1时，S1=a1=p+q+r；当n2时，an=Sn-S n-1=2pn-p+q，由n=1代入的结果为p+q，要使n=1时也适合，必须有r=0.生2 当r=0时，这个数列是等差数列，当r0时，这个数列不是等差数列.生3 这里的p0也是必要的，若p=0，则当n2时，an=Sn-S n-1=q+r，则变为常数列了，r0也还是等差数列.师 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？(学
11、生板演)解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn,则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54.(教师对学生的解答给出评价)课堂小结师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生 等差数列的前n项和公式1：,等差数列的前n项和公式2：.师 通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生 通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求
12、另外两个变量.师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?生 如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.布置作业课本第52页习题2.3 A组第2、3题.板书设计等差数列的前n项和(一)公式： 推导过程 例第二课时教学过程推进新课合作探究师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n的函数形式.生 我将等差数列an的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*)师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二
13、次函数呢?生1 能，(*)式就是关于n的二次函数.生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.师 为什么?生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d0时，(*)式才是关于n的二次函数.师 说得很好!等差数列an的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征?生 它一定不含常数项，即常数项为0.生 它的二次项系数是公差的一半.师 对的，等差数列an的前n项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项和为n的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗?生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师 说的在理.
14、同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?生 当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，).师说得很精辟.例题剖析【例】 (课本第51页例4)分析:等差数列an的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (xN *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首
15、项和公差. 生 它的首项为5，公差为.师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.我令0，得到了n8，这样我就可以知道a8=0，而a90.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.方法引导师 受刚才这位同学的新解法的启发
16、，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：当等差数列an的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?生Sn有最大值，可通过求得n的值.师 当等差数列an的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.教师精讲好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值.课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：an=1 0
17、24+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：1+13 401n3 403.所以n=3 402.2Sn=1 024n+ (-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+16 804.99.因为nN*，所以有n=6 805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)合作探究师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：1357911131517192123252729此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行
18、第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我. 生1 我发现这数表n行共有1+2+3+n个数，即n行共有个奇数.师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.师 现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?生4
19、 我设n2-n+12 005n2+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：利用an：当an0，d0，前n项和有最大值.可由an0，且a n+10，求得n的值；当an
20、0，d0，前n项和有最小值.可由an0，且a n+10，求得n的值.利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.布置作业课本第52页习题2.3 A组第5、6题.预习提纲：什么是等比数列？等比数列的通项公式如何求？板书设计等差数列的前n项和(二)Sn与函数的联系 例4求Sn最值的方法 学生练习数表问题