1、专题02 函数【2020年】1.（2020新课标）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.2.（2020新课标）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿
2、者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名.3.（2020新课标）若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.4.（2020新课标）设函数，则f(x)（ ）A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单
3、调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.5.（2020新课标）若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.6.（2020新课标）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病
4、例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】，所以，则，所以，解得.7.（2020新课标）已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）A. abcB. bacC. bcaD. cab【答案】A【解析】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.8.（2020山东卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指
5、相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) （ ）A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天【答案】B【解析】因为，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.9.（2020山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，10.（2020天津卷）函数的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.11.（2020天津卷）设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以.12.（2020天津卷）已知函数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论的序
7、号是A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以周期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.13.（2020天津卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为. 14.（2020浙江卷）函数y=xcosx+sinx在区间，+的图象大
8、致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误.15.（2020浙江卷）已知a，bR且ab0，若(xa)(xb)(x2ab)0在x0上恒成立，则（ ）A. a0C. b0【答案】C【解析】因为，所以且，设，则零点为当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，要使，必有.综上一定有.16.（2020山东卷）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）A 若n=1，则H(X)=0B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大C. 若，则H(
9、X)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.17.（2020北京卷）函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，18.（2020北京卷）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价
10、在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜
11、率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确。19.（2020江苏卷）已知y=f(x)是奇函数，当x0时， ，则f(-8)的值是_.【答案】-4【解析】，因为为奇函数，所以20.（2020新课标）关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图像关于y轴对称f（x）的图像关于原点对称f（x）的图像关于直线x=对称f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；
12、对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，则，命题错误。【2019年】1（2019全国卷）已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】即则故选B2（2019天津卷）已知，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，即，所以.故选A.3（2019全国卷）若ab，则（ ）Aln(ab)0 B3a0 Dab【答案】C【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，所以，即a3b30，C正确.故选C4（2019北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=，其中星等为m
13、k的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A1010.1 B10.1Clg10.1 D1010.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而. 故选A. 5（2019全国卷）函数f(x)=在的图像大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称又，可知应为D选项中的图象故选D6（2019全国卷）函数在的图像大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B7（2019浙江卷）在同一直角坐标系中，函数，(a0，且
14、a1)的图象可能是（ ）【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.8（2019全国卷）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M，月球质量为M，
15、地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由，得，因为，所以，即，解得，所以故选D.9（2019全国卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即.故选C10（2019全国卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）AB C D【答案】B【解析】，时，；时，；时，如图：当时，由解得，若
16、对任意，都有，则.则m的取值范围是.故选B.11（2019浙江卷）已知，函数若函数恰有3个零点，则（ ）Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）ax
17、b恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：0且，解得b0，1a0，b（a+1）3，则a1，b0.若在区间(0，9上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，两点连线的斜率，综上可知，满足在(0,9上有8个不同的实数根的k的取值范围为.【2018年】1（2018全国卷）函数的图像大致为【答案】B【解析】为奇函数，舍
18、去A；，舍去D；时，单调递增，舍去C.因此选B.2（2018全国卷）函数的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点，排除A，B；令，则，由得，得或，此时函数单调递增，由得，得或，此时函数单调递减，排除C.故选D.3（2018浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是A BC D【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，故选D4（2018全国卷）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A B C D【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D5（2018全国卷）已知是定义域为的奇函数，满足若，则
19、A B0 C2 D50【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，因为，从而.故选C6（2018天津卷）已知，则a，b，c的大小关系为A B C D【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，据此可得：.本题选择D选项.7（2018全国卷）设，则A B C D【答案】B【解析】，,即，又，.故选B8（2018全国卷）已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）【答案】C【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限
20、移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.故选C19（2018江苏卷）函数的定义域为_【答案】2，+）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.20（2018全国卷）函数在的零点个数为_【答案】【解析】，由题可知或，解得或，故有3个零点.21（2018浙江卷）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时，_，_【答案】8；11【解析】故答案为8；11.22（2018北京卷）能说明“若f（x）f（0）对
21、任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_【答案】 （答案不唯一）【解析】对于，其图象的对称轴为，则f（x）f（0）对任意的x（0，2都成立，但f（x）在0，2上不是单调函数.23（2018江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为_【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此24（2018江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此解得.从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，则故答案为.25（2018浙江卷）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是
22、_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】(1,4)；【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)0的解集是当时，此时，即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.26（2018天津卷）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则；当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则.令，其中，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取
23、值范围是.【2017年】1（2017山东卷）设函数的定义域为，函数的定义域为,则A（1,2） BC（-2,1） D-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故.选D.2（2017全国卷）设函数，则下列结论错误的是A的一个周期为 B的图象关于直线对称C的一个零点为D在(,)单调递减【答案】D【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；当时，函数在该区间内不单调，选项D错误.故选D.3（2017全国卷）已知函数有唯一零点，则a=AB
24、CD1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.4（2017天津卷）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是ABCD【答案】A【解析】不等式可化为 (*)，当时，(*)式即，即，又（当时取等号），（当时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以综上，故选A5（2017北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.
25、则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）A1033 B1053C1073 D1093【答案】D【解析】设，两边取对数，所以，即最接近.故选D6（2017全国卷）设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2xb1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .【答案】4 2【解析】设，因为，因此7.【2016天津卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是_.【答案】【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，解得 8.【2016四川卷】在平面直角坐标系中，当P(x，y)
26、不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）.【答案】【解析】对于，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以正确；设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位
27、圆上，故正确；对于，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为.9.【2016山东卷】已知函数f(x)的定义域为R.当x0,且a1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）（A）（0， （B）， （C），（D），）【答案】C【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，实数的去范围是，故选C.11.【2016江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【解析】，因此12.【2016江苏卷】函数y=的定义域是 .【答案】【解析】要使函数有意义，
28、必须，即，故答案应填：，13.【2016北京卷】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，当时，由图象可知的最大值是；由图象知当时，有最大值；只有当时，无最大值，所以所求的取值范围是14.【2016山东卷】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】 【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得。16、【2016上海卷】已知点在函数的图像上，则.【答案】【解析】将点（3，9
29、）代入函数中得，所以，用表示得，所以.17.【2016上海卷】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，得，解得（2），当时，经检验，满足题意当时，经检验，满足题意当且时，是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即于是满足题意的综上，的取值范围为（3）当时，所以在上单调递减函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为18.【2016上海卷】设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）、和均为真命题 、和均为假命题、为真命题，为假命题 、为假命题，为真命题 【答案】D【解析】不成立，可举反例, , 前两式作差，可得结合第三式，可得, 也有正确故选D.