1、高考资源网（） 您身边的高考专家332 简单的线性规划学习目标1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题要点精讲1. 研究一个问题:设，式中变量满足下列条件。求的最大值和最小值分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线:2x+y=0平行的直线:2x+y=t,tR（或平行移动直线），从而观察t值的变化： 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线
2、：2x+y=0上.作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):2x+y=t,tR.可知，当在的右上方时，直线上的点（x,y)满足2x+y0, 即t0.而且，直线往右平移时，可以发现t随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线所对应的t最小.所以： =25+2=12，=21+3=3。2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域, 最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。t=2x+y是欲达到最大值或最小值
3、所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解范例
4、分析例1给出下列命题：线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量或的值；线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其中正确的是( )A. B. C. D.例2已知变量满足约束条件。求的最大值和最小值。例3（1）已知变量满足约束条件，。若目标函数 (其中)仅在点处取得最大值，则a的取值范围是 。（2）已知平面区域D由以为顶点的三角形内部边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数zxmy取得最小值，则等于（ ）A2 B1 C1 D4例4设实数x、y满足不
5、等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设，在（1）所求的区域内，求函数的最值规律总结1用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线 （3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解（4）最后求得目标函数的最大值及最小值2已知变量满足约束条件，当时，将直线向上平移时，目标函数的越来越大；当时，将直线向上平移时，目标函数的越来越小。基础训练一、选择题1在约束条件下，则目标函数的最优解是（ ）A（0，1），（1，0） B（0，1），（0，-1）C（0，-1），（0，0） D（0，-1），（1，0）2
6、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）4 11 12 143设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D 4设R为平面上以A（4，1），B（1，6），C（3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x3y的最大值与最小值分别为（ ） A、最大值14，最小值18 B、最大值14，最小值18 C、最大值18，最小值14 D、最大值18，最小值145如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数 取得最小值的最优解有无数个，则为（ ）A、 B、2 C、 D、6二、填空题6已知, 则4a2b取值范围是 。7已知实数、满足则的最大值是 。8设、满足约束条件则使得目
7、标函数的最大的点 是 。三、解答题9求目标函数的最大值及对应的最优解，约束条件是10求的最大值和最小值，其中满足约束条件。四、能力提高11在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）A. B. C. D. 12己知满足条件：且 (1)试画出点的存在范围；(2)求的最大值.3.3.2 简单的线性规划参考答案例1解：选D。注意对概念的辨析。例2分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线：平行的直线：（或平行移动直线），从而观察t值的变化： 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=
8、0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线：2x+y=0上.作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):.因为直线化成，斜率为，在轴的截距为，当直线往右平移时，轴的截距为随之增大，因此随之减小。在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点的直线所对应的最小.所以： ，。例3（1）解：变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，目标函数（其中） 中的z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+)。（2）依题意，令z0，可得直线xmy0的斜
9、率为，结合可行域可知当直线xmy0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数zxmy取得最小值，而直线AC的斜率为1，所以m1，选C。例4解：（1）已知的不等式组等价于解得点所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界） 其中，（2）表示直线在y轴上的截距，且直线与（1）中所求区域有公共点, 当直线过顶点C时，最大C点的坐标为（-3，7）， 的最大值为如果-12，那么当直线过顶点A（2，-1）时，最小，最小值为-1-2.如果2，那么当直线过顶点B（3，1）时，最小，最小值为1-3评注：由于直线的斜率含参数，所以在求截距的最值时，要注意对参数进行讨论，方法是直线动起来基础训练1A；2B；3B
10、；提示：设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数 的最小值为3，选B. 4A；5A；提示：当目标函数移动到与直线重合时，取得最小值的最优解有无数个，67已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别 是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)， 的最大值是4.8(2,3).；9. 解：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1）， 作直线l0：10 x +15 y =0，再作与直线l0平行的直线l：10 x +15 y =z， 由图象可知，当l经过点（10，1
11、）时使 取得最大值， 显然，此时最优解为（10，1）10先作平面区域，再设，向上平移，过点A(0,2)时，取最大值，过点B(2,2)时，取最小值。11解：由交点为，（1）当时可行域是四边形OABC，此时，（2）当时可行域是OA此时，故选D.12. 332 简单的线性规划（第2课时）学习目标1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 特别注意求最优解是整数解的问题 2.培养观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高“建模”和解决实际问题的能力要点精讲线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到
12、的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小范例分析1产品安排问题例1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？2物资调运问题例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，
13、需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?3下料问题例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？规律总结简单线性规划问题
14、就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（4）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解 基础训练一、选择题1在不等式表示的区域内,满足目标函数取得最小值的整数点是 ( ) A. B. C. D.2某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2、3 m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个
15、，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？（ ）AA用3张，B用6张BA用4张，B用5张CA用2张，B用6张DA用3张，B用5张3某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ ）A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元二、填空题4若都是非负整数,则满足的点共有_个；5某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装
16、，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.三、解答题6某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?7某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子
17、分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？能力提高8（08年山东理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）A B C D9A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台已知从A市调运一台机到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元设从A市调x台
18、到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值3.3.2 简单的线性规划（第3课时）参考答案例1分析：将已知数据列成下表： 产品消耗量资源甲产品（1 t）乙产品(1 t)资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石(t)54200煤(t)49360利润（元）6001000 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么目标函数为：z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线:600x+1000y=0,即直线l:3x+5y=0,把直线向右上方平移至1的位置时，直线经过可行域上的点M，
19、且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.解方程组得M的坐标为x=12.4,y=34.4.答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大例2解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费z=x+1.5(200x)+0.8y+1.6(300y)(万元) 即z=7800.5x0.8y.x、y应满足：作出上面的不等式组所表示的平面区域设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280) 把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小点M的坐标为(0，280)，甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运28
20、0万吨向西车站运20万吨时，总运费最少 例3解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域：目标函数为z=x+y，作出在一组平行直线x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y= 由于都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y必须满足x，yZ，所以，可行域内点()不是最优解经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两
21、种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张基础训练1D；2A；提示：设A、B两种金属板各取张，则；3B；提示：设投资甲、乙两个项目各万元，则；421;5500；6解：将已知数据列成下表：资源消耗量 产品甲种棉纱（1吨）乙种棉纱（1吨）资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利 润（元）600900设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么z=600x+900y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域作直线l：600x+900y=0
22、，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值.解方程组,得M的坐标为x=117，y=67答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大7解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张则，目标函数为：z=2x+3y作出可行域： 把直线：2x+3y=0向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值解方程得M的坐标为（2，3）.答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润7解：区域是三条直线相交构成的三角形（如图）显然，只需研究过、两种
23、情形， 且即9解：由题意可得，A市、B市、C市调往D市的机器台数分别为x、y、（18- x - y），调往E市的机器台数分别为（10- x）、（10- y）、于是得W=200 x +800(10- x)+300 y +700(10- y)+400(18- x - y)+500 =-500 x -300 y +17200设17200100T，其中5 x +3 y , 又由题意可知其约束条件是 作出其可行域如图：作直线l0：5 x +3 y，再作直线l0的平行直线l： 5 x +3 y当直线l经过点（，10）时，取得最小值，当直线l经过点（10，8）时，取得最大值，所以，当x =10，y =8时，
24、Wmin=9800（元） 当x =0，y =10时，Wmax=14200（元）答：的最大值为14200元，最小值为9800元3.3.2 简单的线性规划（第3课时）学习目标1进一步提高将实际问题转化为线性规划问题的能力；2能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题。要点精讲1、 两点，连线的斜率公式：。2两点，之间的距离：。3以点为圆心，为半径的圆方程：。平面区域问题有以下几种常见类型：（1）根据题设条件画出平面区域，并求出区域面积、边界曲线方程；（2）计算平面区域中整点的个数；（3）运用平面区域求与之相关的最值、取值范围等问题。范例分析1根据题设条件画出平面区域例1A=，B=,C=，求A,B,C之
25、间的包含关系？2求平面区域内整点的个数例2在直角坐标平面上，求满足不等式组的整点个数。3根据平面区域求有关最值、取值范围例3画出所表示的平面区域：（1）求的最值； （2）求的取值范围。3利用平面区域求解代数问题例4（1）设且，试用线性规划方法求 的取值范围是 。（2）实系数方程的两根满足，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、引申：求的取值范围。规律总结：中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法。通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题
26、中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。基础训练一、选择题1满足的整点的点（x，y）的个数是（ ）A5 B8 C12 D132（08年福建文10)若实数x、y满足，则的取值范围是（ ）A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+) D.2，+)3已知圆的方程为，平面区域在圆内，则正实数的取值范围是（ ） A、B、 C、 D、4如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）5方程的两根为x1，x2，并且0x11x2，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题6已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_,最大值等于_.7平面直角坐标系中，点满
27、足条件：，则点所在区域面积为 。8如果实数满足条件：，则的最大值为 三、解答题9已知，试求的最大值与最小值，何时达到最值？10已知，若恒成立，求的最大值。四、能力提高11设满足约束条件，则取值范围是 （ ） 12、在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以的速度从A港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域。YQPXO图13.3.2 简单的线性规划（第3课时）参考答案例1Y画出三个点集，集合A表示以四点为顶点的正方形（含内部），集合B表示单位圆（含内部），集合C表示以四点为顶点的正方形
28、（含内部）。因此，BDCXOA图4例2解：作出不等式组所表示的平面区域如图，即内部（包括边界）。其中，。易知区域（包括边界）中整点的个数为：。下面考察（不包括边上的点）中整点个数。在中，当时，的整数值的个数依次为。故在这个区域中的整点个数为：。由于和关于直线对称，因此满足条件的整点个数为：。评注：充分利用图形的对称性可以减少运算量。例3解：（1）当时，；当时，；（2）表示点与连线的斜率，。例4（1） 解：由已知，约束条件为，（2）解：令，由得，令，画出可行域，结合图形可得，选A。引申：，当时，当时，故。基础训练1D 分讨论2解：由题设，所以，又，因此又可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率，画
29、出可行域也可得出答案。3A 4A提示：设，则。5C提示：令由0x11x2得，即，再令，画出可行域，结合图形可得。6，；解：画出可行域，如图所示： 易得A（2，2），OA，B（1，3），OB，C（1，1），OC故|OP|的最大值为，最小值为.7；提示：由已知，画出可行域，点所在区域面积为。8 提示：建立坐标系，用线性规划求得，9解：画出平面区域，M表示平面区域内的点到点距离的平方，易知当时，；当时，。10解：函数在上的图象是一条线段，由恒成立，得，画出可行域，当时，的最大值为。YQPXO图111A提示：，；12解：建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿OP方向前进到达P处，然后向北前进到达Q，设，可知，。所以。因为机挺中途左拐，所以，又因为即。上述不等式组表示机挺在第一象限的营救区域，根据问题的对称性（关于轴对称），可得营救的区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点。全 品中考网- 22 - 版权所有高考资源网
