1、第一章单元质量评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1下列命题中正确的是(B)A由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B棱锥的高线可能在几何体之外C仅有一组对面平行的六面体是棱台D有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥解析：由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故 A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故 B 正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C 不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D 不正确故选 B.
2、2用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是(C)A棱柱B棱台C圆柱D球3若一个底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(B)A12 3B36 3C27 3D6解析：由三视图可知该几何体为正三棱柱，棱柱的高为 4，底面正三角形的高为 3 3，所以底面边长为 6，所以几何体的体积为1262 32 436 3，选 B.4已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)A若，垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则
3、m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故 A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故 B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故 C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故 D 正确故选 D.5“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如左图所示，
4、图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是(A)Aa，b Ba，c Cc，b Db，d解析：主视图和左视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实的对角线，故选 A.6直线 l1l2，在 l1 上取 3 个点，l2 上取 2 个点，由这 5 个点所确定的平面个数为(D)A9 个B6 个C3 个D1 个解析：因为 l1l2，所以 l1，l2 确定唯一平面，所以 5 个点均在该平面内7已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5，菱形的对角线的长分别是 9 和 15，则
5、这个棱柱的侧面积是(A)A30 34B60 34C30 34135 D135解析：由菱形的对角线长分别是 9 和 15，得菱形的边长为922152232 34，则这个直棱柱的侧面积为 432 34530 34.8在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于(C)A30 B45 C60 D90解析：本题可借助正方体模型求解，如图，BA1 与 AC1 所成的角即为 BA1 与 BD1 所成的角在A1BD1 中，A1BA1D1BD1.BA1与 BD1 所成角为 60.9正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是 AB，A
6、D，B1C1 的中点，那么过 P，Q，R 的截面图形是(D)A三角形B四边形C五边形D六边形解析：如图，取 C1D1 的中点 E，连接 RE，RE 綊 PQ.P，Q，R，E 共 面 再 取 BB1，DD1 的 中 点 F，G.PFAB1QR 且GEC1DQR，E，G，F，P，Q，R 共面截面图形为六边形10已知一个多面体的内切球的半径为 1，多面体的表面积为 18，则此多面体的体积为(C)A18 B12 C6 D12解析：连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了高为 1 的多个棱锥多个棱锥的底面积之和 SS1S2Sn18.所以该多面体的体积为 V13S1113S2113Sn113(S1S2S
7、n)16.11如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC 13，BB1BC6，E，F 为侧棱 AA1 上的两点，且 EF3，则多面体BB1C1CEF 的体积为(A)A30 B18 C15 D12解析：VBB1C1CEFVABCA1B1C1VFA1B1C1VEABCSABC613SABCA1F13SABCAESABC613A1FAE 5SABC.ACAB13，BC6，SABC126 132326.VBB1C1CEF5630.12如图所示，在正三棱锥 SABC 中，M，N 分别是 SC，BC的中点，且 MNAM，若侧棱 SA2 3，则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是(C)A12 B
8、32 C36 D48解析：因为 M，N 分别为 SC，BC 的中点，所以 MNBS.因为MNAM，所以 SBAM.又 SBAC，AMACA，所以 SB平面 ASC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，又 SASBSC2 3，设外接球半径为 R，则(2R)2(2 3)2(2 3)2(2 3)2，即 R3，所以 S 球4R236.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在题中横线上)13某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 3.解析：此棱锥底面是边长为 3 的正方形，高为 1，所以体积为133213.14如图所示，扇形的圆心角为 90，弦 AB 将扇形分成两个部
9、分，这两部分各以 AO 为轴旋转一周，所得的旋转体体积 V1 和 V2 之比为 11.解析：设扇形所在圆的半径为 R，RtAOB 绕 OA 旋转一周形成圆锥，其体积 V13R3，扇形绕 OA 旋转一周形成半球，半球的体积 V23 R3，V2VV123 R33R33R3.V1V211.15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为43.解析：设球的半径为 R，六棱柱的底面边长为 a，高为 h，显然有a2h22R，且V六棱柱6 34 a2h98，6a3，解得a12，h 3，所以 R1，则 V 球43R343.
10、16如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1 上的动点，过 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题是真命题的有.(写出所有真命题的序号)当 0CQ12时，S 为四边形；当 CQ12时，S 为等腰梯形；当 CQ34时，S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R13；当34CQ1 时，S 为六边形；当 CQ1 时，S 的面积为 62.解析：设截面与直线 DD1 相交于 T，则 ATPQ，且 AT2PQ，DT2CQ.对于，当 0CQ12时，则 0DT1，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形，所以正确对于，当 CQ12时，DT
11、1，T 与 D1 重合，截面 S 为四边形 APQD1，所以 APD1Q，截面为等腰梯形，所以正确对于，当 CQ34时，QC114，DT32，D1T12，利用三角形相似，解得 C1R13，所以正确对于，当34CQ1 时，32DT2，截面 S 与线段 A1D1，D1C1 相交，所以截面 S 为五边形，所以错误对于，当 CQ1 时，Q 与 C1 重合，截面 S 与线段 A1D1 相交于其中点 G，即截面为菱形 APC1G，对角线长度为 2和 3，S 的面积为 62，所以正确综上，真命题为.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)圆台的一个
12、底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392，母线与轴的夹角为 45，求这个圆台的高、母线长和底面半径解：作出圆台的轴截面如图设 OAr，因为一底面周长是另一底面周长的 3 倍，所以OA3r，SA 2r，SA3 2r，OO2r.由轴截面的面积为12(2r6r)2r392，得 r7.故上底面半径为 7，下底面半径为 21，高为14，母线长为 14 2.18(12 分)一个几何体的三视图如图所示，已知主视图是底边长为 1 的平行四边形，左视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解：(1
13、)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为 1 的正方形，高为 3，所以 V11 3 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中 A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1，AA12，四边形 ABB1A1，CDD1C1 均为矩形，S2(111 312)62 3.19(12 分)如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长均为 4，M，N 分别是 BC，CC1 的中点(1)证明：BN平面 AMB1；(2)求三棱锥 BAB1N 的体积解：(1)证明：在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，M 是 BC 的中点，ABC 是正三角形，AMBC.平面 ABC平面 BB1C1C，且其
14、交线是 BC，AM平面BB1C1C.BN平面 BB1C1C，AMBN.如图所示，在正方形 BB1C1C 中，M，N 分别为 BC，C1C 的中点，RtMB1BRtNBC，NBC MB1B，BMB1 CNB，NBCBMB190，BNB1M.又AMB1MM，BN平面 AMB1.20(12 分)如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5，AA1 7，BB12 7，点 E 和点 F 分别是 BC，A1C的中点(1)求证：EF平面 A1B1BA；(2)求证：平面 AEA1平面 BCB1；(3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小 解：(1)证明：如图，连接 A1B.
15、在A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC，A1C 的中点，所以 EFBA1.又因为 EF 平面 A1B1BA，所以 EF平面 A1B1BA.(2)证明：因为 ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC.因为 AA1平面 ABC，BB1AA1，所以 BB1平面 ABC.所以BB1AE.因为 BCBB1B，所以 AE平面 BCB1.又因为 AE平面 AEA1，所以平面 AEA1平面 BCB1.(3)取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M，A1N，NE.因为 N 和 E 分别是 B1C 和 BC 的中点，所以 NEBB1，NE12BB1.所以 NEAA1，NEAA1，
16、所以四边形 AA1NE 是平行四边形，所以 A1NAE，A1NAE.又因为 AE平面 BCB1，所以 A1N平面 BCB1，所以A1B1N就是直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角在ABC 中，得 AE2，所以 A1NAE2.因为 BMAA1，BMAA1，所以四边形 AA1MB 是平行四边形，所以 A1MAB，A1MAB.又由 ABBB1，得 A1MBB1.在 RtA1MB1 中，A1B1 B1M2A1M24.在 RtA1NB1 中，sinA1B1NA1NA1B112，因此A1B1N30.所以直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30.21(12 分)如图 1，等腰梯形 ABCD
17、中，ADBC，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点如图 2，将ABE 沿 AE 折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连接 BC，BD，F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的中点(1)求证：AEBD；(2)求证：平面 PEF平面 AECD；(3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC？并说明理由解：(1)证明：如图，取 AE 中点 M，连接 BM，DM.在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABAD，ABC60，E是 BC 的中点，ABE 与ADE 都是等边三角形，BMAE，DMAE.BMDMM，BM，DM平面 BDM，AE平面 BDM.BD平面 BDM，AEBD.(2)证明：连接 CM，E
18、F，交于点 N，连接 PN，MF，MEFC，且 MEFC，四边形 MECF 是平行四边形，N是线段 CM 的中点P 是线段 BC 的中点，PNBM.BM平面 AECD，PN平面 AECD.PN平面 PEF，平面 PEF平面 AECD.(3)DE 与平面 ABC 不垂直理由：假设 DE平面 ABC，则 DEAB.BM平面 AECD，BMDE.ABBMB，AB，BM平面 ABE，DE平面 ABE.DEAE，这与AED60矛盾，DE 与平面 ABC 不垂直22(12 分)已知正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面互相垂直，M 为 AC 上一点，N 为 BF 上一点，且 AMFNx，设
19、 ABa.(1)求证：MN平面 CBE.(2)求证：MNAB.(3)当 x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值解：(1)证明：如图，在平面 ABCD 中，作 MGAB，在平面 BFE 中，作 NHEF，连接 GH.因为 AMFN，所以 MCNB，因为MGABMCACNBBFNHEF，所以 MG 綊 NH，所以四边形 MNHG 为平行四边形，所以 MNGH，又因为 GH平面 CBE，MN平面 BEC，所以 MN平面 CBE.(2)证明：因为 ABBC，ABBE，BCBEB，所以 AB平面 CBE，因为 GH平面 CBE，所以 ABGH，因为 MNGH，所以 MNAB.(3)因为平面 ABCD平面 ABEF，所以 BE平面 ABCD，所以BEBC.因为 BG x2，BH 2ax2，所 以MN GH BG2BH2 x2x22 2ax2a22x2 2axa2(0 x 2a)x 22 a2a22 22 a，当且仅当 x 22 a 时，等号成立，所以当 x 22 a 时，MN 取最小值 22 a.