1、6.2垂直关系的性质考纲定位重难突破1.理解直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言准确地描述定理2.能够灵活地运用两个垂直性质定理证明相关问题3.理解并掌握“平行”与“垂直”的相互转化，以及垂直关系之间的相互转化.重点：线面垂直和面面垂直性质定理的应用难点：常与线面、面面垂直的判定定理结合命题，考查多个定理应用的相互转化疑点：要证明的结论容易被当成已知使用.授课提示：对应学生用书第21页自主梳理一、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行ab二、平面与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言如果两个平面互相
2、垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a双基自测1如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线和这个平面的垂线()A垂直 B相交 C平行 D异面解析：设m，n，则内一定有一条直线l，使得ml，且有ln，所以mn.答案：A2在空间中，下列结论正确的是()平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行A B C D解析：由公理4知对；垂直于同一条直线的两条直线可以异面、相交、平行；平行于同一个平面的两条直线可能异面、相交、平行；由线面垂直的性质知正确答案：B3两个平面互相垂直，一个平面内
3、的一条直线与另一个平面()A垂直B平行C平行或相交D平行或相交或直线在另一个平面内解析：若这条直线平行于交线则它平行于另一个平面；若这条直线与交线相交则它与另一个平面也相交；若这条直线就是交线则它在另一个平面内答案：D4在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6 cm，BC8 cm，EC平面ABC，EC12 cm，则ED_cm.解析：连接CD，则CD5，又EC平面ABC，所以ECCD，所以ED13.答案：135如图所示，PO平面ABC，BOAC，在图中与AC垂直的直线有_条解析：连接PD(图略)，PO平面ABC，AC平面ABC，POAC.又ACBO，POBOO，AC平面PBD，平面PBD内的4
4、条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，图中共有4条直线与AC垂直答案：4授课提示：对应学生用书第21页探究一线面垂直的性质的应用典例1如图，已知ADAB，ADAC，AEBC交BC于E，D是FG的中点，AFAG，EFEG.求证：BCFG.证明连接DE.ADAB，ADAC，AD平面ABC.又BC平面ABC，ADBC.又AEBC，BC平面ADE.AFAG，D为FG的中点，ADFG.同理EDFG.又ADEDD，FG平面ADE.BCFG.1线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法2证明线线平行的方法：(1)ac，bcab.(2)a，a，bab.(3)，a，bab.(4)a，bab.1.如图，在正
5、方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，且BDDD1D，AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1，BD1AC.同理，BD1B1C.B1CACC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，且ACB1CC，EF平面AB1C.EFBD1.探究二面面垂直的性质的应用典例2如图，四棱椎PABCD的底面是边长为a的菱形，BCD120，平面PCD平面ABCD，PCa，PDa，E为PA的中点，求证：平面EDB平面
6、ABCD.证明设ACBDO，连接EO，则EOPC.PCCDa，PDa，PC2CD2PD2，PCCD.平面PCD平面ABCD，CD为交线，PC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB平面ABCD.1面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直2证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线以上三点缺一不可2.如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平
7、面PAC平面ABC.(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明；(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系解析：(1)BC平面PAC.证明如下：因为AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，所以ACB90，即BCAC.又因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BC平面ABC，所以BC平面PAC.(2)因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.探究三平行与垂直关系的综合应用典例3如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面BCE；(2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求
8、证：PM平面BCE.证明(1)因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCDAB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，ABAE，所以AEB45.又因为AEF45，所以FEB90，即EFBE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BCBEB，所以EF平面BCE.(2)如图，取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊ABPC，所以四边形PMNC为平行四边形所以PMCN.因为CN平面BCE，PM平面BCE，所以PM平面BCE.以空间几何体为载体，综合考查空间线线、线面、面面的平行关系与垂直关系是考试的热点，解决这类问题的思维方法是“以退为进
9、”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系是解决这类问题的关键 3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBB12BC2，BCC160.(1)求证：C1B平面A1B1C1；(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP平面AA1B1B时，求线段B1P的长解析：(1)证明：由AB侧面BB1C1C，得ABC1B.由ABBB12BC2，BCC160，知C1BC90，即C1BCB.又CBABB，所以C1B平面ABC.由棱柱的性质，知平面ABC平面A1B1C1，所以C1B平面A1B1C1.(2)因为AB侧面BB1C1C，所以平面A
10、BB1A1平面BB1C1C.过点C1作C1PBB1交BB1于点P，连接AP(图略)，则C1P平面AA1B1B.又C1P平面C1AP，所以平面C1AP平面AA1B1B.在BB1C1C中，BB1C1BCC160，C1BCBC1B190，所以B1PB1C1BC.平行与垂直的综合应用典例(本题满分12分)如图，在ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点求证：(1)GF平面ABC；(2)平面EBC平面ACD.规范解答(1)如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HGBC，HFDE.2分又因为四边形
11、ADEB为正方形，所以DEAB，从而HFAB.所以HF平面ABC，HG平面ABC.又HFHGH，HF，HG平面HGF，所以平面HGF平面ABC.所以GF平面ABC.6分(2)因为四边形ADEB为正方形，所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因为CA2CB2AB2，所以ACBC.又BEBCB，所以AC平面BCE.从而平面EBC平面ACD.12分规范与警示(1)解决本题的2个关键点：处证明线线平行时，找中点，作辅助线得平行关系，是解题的关键处证明垂直时，往往是通过对已知条件得出的结果进行判断，故立体几何的有关证明可采用作图、计算、证明的混合模式(2)解决该
12、类问题一般思路a线面垂直与平行的相互转化：空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的b转化关系：线线垂直线面垂直线线平行(3)在解决平行和垂直的综合问题时，一定要把线面垂直、面面垂直的性质和判定方法掌握准确，应用时所具备的条件要罗列清楚，明确题目中的关键点，为后面的计算或解答明确目标随堂训练对应学生用书第23页1已知ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交B异面C平行D不确定解析：因为lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可证m，所以lm.答案：C2在下列四个正方体中，满足ABCD的是()解析：设平面CBD内的另一个顶点为E，则CDAE，CDBE，所以CD平面ABE，所以CDAB.答案：A3下列几种说法正确的有_(只填序号)平面平面，直线l，则l；平面平面，平面平面，则；平面平面，平面平面，则.解析：易知正确；和同一个平面垂直的两个平面可以平行，也可以相交，故错误；正确答案：4已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD一定是_解析：由PA平面ABCD，得PABD，又因为PCBD，PAPCP，所以BD平面PAC.于是BDAC，故ABCD一定为菱形答案：菱形