1、1正整数指数函数 2指数扩充及其运算性质内容标准学科素养1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化2.理解实数指数幂的运算性质3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.精确数学概念熟练等价转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第41页基础认识知识点一正整数指数函数定义在N上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.x12345678y248163264128256提示：y2x，xN，自变量在指数上知识梳理正整数指数函数(1)正整数指数函数一般地，函数yax(a0，a1，xN)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N.(2)正整数指数函数的图像：正整数指数函数的图像是第一象限内
2、一系列孤立的点，是离散而不是连续的知识点二分数指数幂由a222(a0)易得a2，由此你有什么猜想？提示：当a0，b0时，若ambn，则 (m、n为非零整数)知识梳理分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，我们把b叫作a的次幂，记作；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (a0，m，nN，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义知识点三有理数指数幂的运算性质知识梳理(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)知识
3、点四无理数指数幂无理数是无限不循环小数，课本中是怎样用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？提示：随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数知识梳理无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用思考：1.分数指数幂与根式什么关系？提示：(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式(2)根式与分数指数幂之间可进行互化2分数指数幂的意义为什么规定“a0”？提示：由分数指数幂的定义可知a0时，可能会无意义，如，如果能化成根式的话为，显然无意义3成立吗？提示：不一定成立当a0时， 成立，而a0时无意义，二
4、者不相等，故分数指数幂不能随便约分 自我检测1化成根式形式为()A. B.C. D.解析：结合正分数指数幂的运算性质可知.答案：B2等于()A. B. C D.解析：结合负分数指数幂的运算性质可知D正确答案：D3_.解析：原式121.答案：授课提示：对应学生用书第42页探究一根式的运算例1求下列各式的值：(1) ；(2)()5()6(ba)思路点拨先利用根式的性质化简各个根式，再进行运算解析(1)原式8|3|8311.(2)原式(ab)(ba)abba0.方法技巧利用根式的性质化简、求值，就是利用与()n的结果去根号，所以在运算时要特别注意：(1)若n为奇数，对任意aR都有意义，并且表示a在实
5、数范围内的唯一的一个n次方根，即()na.(2)若n为偶数，只有当a0时才有意义，(a0)表示a在实数范围内的一个正的n次方根，但a还有另一个负的n次方根是，即()na.(3)()n与的意义不同.对任意aR都有意义；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|跟踪探究1.求下列各式的值：(1) ；(2)|x|.解析：(1)原式|4|4440.(2)原式|x|x|11.例2化简下列各式：(1) (3x3)；(2)()2.思路点拨(1)去根号，化为含绝对值的形式，然后根据x的范围去绝对值；(2)由根式得出a的范围，再去根号化简解析(1)原式 |x1|x3|.3x3，当3x1时，原式(x1)(x3)2x2
6、；当1x3时，原式(x1)(x3)4.原式(2)由知a10，原式a11aa1.方法技巧在对根式进行化简时，若被开方数中含有字母，则要注意字母的取值范围，即确定中a的正负，再结合n的奇偶性给出正确结果若根式的根指数是偶数，可由被开方数不小于0确定出字母的取值范围，再进行化简跟踪探究2.(1)若1x2，则的化简结果是_(2)的化简结果是_解析：(1)原式 |x2|x1|.1x2，x10，x20，原式2xx112x.(2)由原式知原式.答案：(1)12x(2)探究二根式与分数指数幂的互化例3将下列根式化为分数指数幂的形式：(1) (a0)；(2)；解析(1)原式.方法技巧根式与分数指数幂是同一个问题
7、的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化(1)分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式： (2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错跟踪探究3.用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)；(2)；(3)()2.探究三利用分数指数幂运算性质化简与求值方法技巧利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的(2)无括号先做指数运算(3)负指数幂化为正指数幂的倒数(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成
8、分数，底数是带分数，先要化为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质探究四条件求值问题思路点拨解答本题可从整体上寻求各式与条件5的联系，进而整体代入求值延伸探究1.(变换条件)若将本例中改为则结论如何？2(变换条件，改变问法)已知aa15(a0)，求下列各式的值：(1)a2a2； (3)a3a3.解析：(1)法一：由aa15两边平方，得a22aa1a225，即a2a223.法二：a2a2a22aa1a22aa1(aa1)2225223.(3)a3a3(aa1)(a2aa1a2)(aa1)(a22aa1a23)(aa1)(aa1)235(253)110.方法技巧条件求值问题的两个步
9、骤及一个注意点(1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式授课提示：对应学生用书第44页课后小结1掌握两个公式：(1)()na(nN)；(2)n为奇数且nN，a，n为偶数且nN，|a|2根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解素养培优1忽略n的取值范围导致式子的化简出错易错案例：计算：.易错分析：化简(n1，且nN)时，一定要注意n的取值范围当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|，如果忽略了这一点，往往会化简出错考查概念公式、数学运算的学科素养自我纠正：(1)|1|112.2忽略有意义的条件计算出错易错案例：化简易错分析：对式子化简时，要注意条件中有无隐含条件，有无偶次方根，被开方数是否符合要求，忽略这一点容易计算失误致错考查概念公式、数学运算的学科素养