1、8.4直线、平面平行的判定与性质考纲展示1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题考点1线面平行的判定与性质直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行(2)判定定理与性质定理答案：(2)一条直线与此平面内的一条直线交线(1)教材习题改编在空间四边形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，且满足，则直线EF与平面ABC的关系是_答案：平行解析：因为，所以EFAC.又因为AC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(2)教材习题改编如
2、图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_答案：解析：因为EF平面AB1C，易知ACEF，又因为E为中点，所以F为DC的中点，故EF.典题1如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点求证：(1)AP平面BEF；(2)GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点又F是PC的中点，FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H
3、分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.点石成金1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行注意说明已知的直线不在平面内2判断或证明线面平行的方法：(1)线面平行的定义(反证法)；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理.如图，在直三棱柱ABCABC中，BAC90
4、，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)求证：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(1)证明：证法一：连接AB，AC，如图，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB的中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.证法二：取AB的中点P，连接MP，NP，AB，如图，因为M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)解：解法一：连接BN，如图，由题意ANB
5、C，平面ABC平面BBCCBC，AN平面ABC，平面ABC平面BBCC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.解法二：VAMNCVANBCVMNBCVANBC.考点2面面平行的判定与性质平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面(2)判定定理与性质定理答案：(2)相交直线平行交线(1)教材习题改编已知平面，和直线a，b，c，且abc.若a，b，c，则平面与的关系是_答案：平行或相交(2)教材习题改编如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1的位置关系是_答案：平行解析：易证得A1C1，A1D都
6、与平面AB1C平行，且A1DA1C1A1，所以平面AB1C平面A1DC1.判定定理和性质定理的应用：关注定理的条件(1)若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的关系是_(2)已知直线a，b和平面，若a，b，a，b，则与的关系是_(3)若，直线a，则a与的关系是_答案：(1)a或a(2)平行或相交(3)a或a解析：(1)由直线与平面平行的定义和判定定理知，a可能平行于，也可能在内(2)当a与b相交时，；当a与b平行时，与平行或相交(3)当a在外时，a；当a在内时，也满足题意典题2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点求证：(1)B，C，H
7、，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.题点发散1在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B.又HD
8、平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.题点发散2在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.点石成金判定面面平行的四种方法
9、(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)2017河北衡水模拟在如图所示的几何体ABCDFE中， ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)求证：平面ADE平面BCF.(1)解：取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面ABC，平面BCED平面ABC，AO平面BCED.同
10、理FG平面BCED.AOFG，VABCDFE42.(2)证明：由(1)知，AOFG，AOFG，四边形AOFG为平行四边形，AGOF.又DEBC，DEAGG，DE平面ADE，AG平面ADE，FOBCO，FO平面BCF，BC平面BCF，平面ADE平面BCF.考点3平行关系中的探索性问题典题3如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形(1)求证：平面AB1C平面DA1C1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1DC1.AB1平面DA1C1，DC1平面DA1C1，AB
11、1平面DA1C1.同理可证B1C平面DA1C1，而AB1B1CB1，由面面平行的判定定理知，平面AB1C平面DA1C1.(2)解存在这样的点P，使BP平面DA1C1.A1B1綊AB綊DC，四边形A1B1CD为平行四边形，A1DB1C.在C1C的延长线上取点P，使C1CCP，连接BP.B1B綊C1C，B1B綊CP，四边形BB1CP为平行四边形，则BPB1C，BPA1D，BP平面DA1C1.点石成金解决题点发散性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在而对于探求点的问题，
12、一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解：(1)因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，所以ADCD.因PDCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高因为E为PC的中点，且PDDC4，所以SPDESPDC4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E
13、为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.又EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.所以AMAC.即在AC边上存在一点M，使得PA平面EDM，AM的长为.方法技巧1.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质2平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a .3线面平行、面面平行的常见性质(1)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；(4)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行；(5)
14、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行4三种平行间的转化关系线线平行线面平行面面平行其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化易错防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误2在面面平行的判定中易忽视“平面内两条相交直线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交 真题演练集训 12016山东卷节选在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC.证明：设FC的中点为I
15、，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，OBBCB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.22016新课标全国卷节选如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点证明：MN平面PAB.证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知，TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平
16、面PAB，所以MN平面PAB.32015江苏卷节选如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：DE平面AA1C1C.证明：由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.42014新课标全国卷节选如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点证明：PB平面AEC.证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以P
17、B平面AEC. 课外拓展阅读 立体几何中的探索性问题1条件追溯型问题典例1 如图所示，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC，ABDC，DCDD12AD2AB2.(1)求证：DB平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定点E的位置，使得D1E平面A1BD，并说明理由(1)证明因为ABDC，ADDC，所以ABAD，在RtABD中，ABAD1，所以BD，易求BC，因为CD2，所以BDBC.又BDBB1，B1BBCB，所以BD平面B1BCC1.(2)解点E为DC的中点理由如下：如图所示，连接BE，因为DEAB，DEAB，所以四边形ABED是平行四边形所以ADBE.又ADA1D1，所
18、以BEA1D1，所以四边形A1D1EB是平行四边形，所以D1EA1B.因为D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，所以D1E平面A1BD.方法探究立体几何中的条件追溯型问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步地推出所要求的条件此类问题的难点是如何应用“执果索因”在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意2存在探索型问题典例2如图所示，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点
19、D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？请说明理由思路分析(1)利用DEPC证明线面平行；(2)利用平行关系和已知PCAB证明DEDG；(3)Q应为EG的中点(1)证明因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DEPC.又DE平面BCP，所以DE平面BCP.(2)证明因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形又PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形(3)解存在满足条件的点Q.理由如下：连接DF，EG，如图所示，设Q为EG的中点，由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，所以Q为满足条件的点方法探究解决与平行有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在提醒 完成课时跟踪检测(四十二)