1、课时作业 立体几何中的向量方法(一)一、选择题 1已知平面 过点 A(1，1,2)，法向量为 n(2，1,2)，则下列点在 内的是()A(2,3,3)B(3，3,4)C(1,1,0)D(2,0,1)解析 若点 B(x0，y0，z0)在 内，则应有ABn0，逐个验证可知(2,3,3)点适合 故应选 A.答案 A 2设 l1的方向向量 a(1,2，2)，l2的方向向量 b(2，3，m)，若 l1l2，则 m()A1 B2 C.12 D3 解析 l1l2，ab，ab0，即 1(2)23(2)m0，解得 m2.故应选 B.答案 B 3已知直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，且 vu0，则
2、 l 与 的关系是()Al Bl Cl Dl 或 l 解析 vu0，vu.l 或 l.故应选 D.答案 D 4下列说法不正确的是()A平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量 B一个平面的所有法向量互相平行 C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D如果 a，b 与平面 共面，且 na，nb，那么 n 就是平面 的一个法向量 解析 在 D 中，当 a 与 b 共线时，由 na，nb 不能推出 n 是 的法向量得 D 不正确 答案 D 5下列命题中，正确命题的个数是()若 n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n2；若 n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20；若 n 是平面
3、 的法向量，且向量 a 与平面 共面，则 an0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 A1 B2 C3 D4 解析 是真命题，是假命题 故应选 C.答案 C 6已知直线 l1的方向向量 a(2,4，x)，直线 l2的方向向量 b(2，y,2)，若|a|6，且 ab，则 xy 的值是()A3 或 1 B3 或1 C3 D1 解析 依题意，得 416x2644y2x0，解得 x4y3或 x4，y1，xy1 或3.故应选 A.答案 A 7已知平面 的一个法向量 ax，2y1，14，b(1，2,1)，c3，12，2，且 b，c 在 内，则 a 等于()A.952，5326，14 B.95
4、2，126，14 C.952，2752，14 D.2752，5326，14 解析 向量 b，c 在平面 内，a 是平面 的法向量，ab，ac，abxy140ac3x12y120，解得 x 952，y2752.故应选 B.答案 B 8.一个正方体的展开图如图所示，B，C，D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，CD 与 AB 所成角的余弦值为()A.510 B.105 C.55 D.1010 解析 如图为原正方体设正方体棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1，12，1，B(0,1,1)，C(1,1,0)，D(1,0,1)，CD(0，1,1)，AB1，12，
5、0.|CD|2，|AB|52，CDAB12，cos122 52 1010.CD 和 AB 所成角的余弦值为 1010.故应选 D.答案 D 二、填空题 9若 l 的方向向量为 a(2,1，m)，平面 的法向量为 n1，12，2，且 l，则m_.解析 l，an，21112m2，m4.答案 4 10已知三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,0,2)，B(4,2,0)，C(2,4,0)，则平面ABC 的单位法向量为_ 解析 AB(4,2，2)，AC(2,4，2)设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，则 nAB0nAC0 4x2y2z02x4y2z0，解得 xy 且 z3x，n13z，
6、13z，z(z0)，单位法向量为111，111，311.答案 111，111，311 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则平面 ADB1的一个法向量是_ 解析 建立如图所示坐标系 Dxyz，从而有 A(1,0,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，那么DA(1,0,0)，DB1(1,1,1)，设 n 是平面 ADB1的法向量，n(x，y，z)，那么 nDAx0，nDB1xyz0，得 x0，yz.令 z1，得 n(0，1,1)答案(0，1,1)12直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，AC1，BC 2，侧棱 AA11，侧面 AA1B1B的两条对角线交点为 D，B1
7、C1的中点为 M，则 CD_平面 BDM.解析 如图所示建立空间直角坐标系，则 B(2，0,0)，B1(2，1,0)，A1(0,1,1)，D22，12，12，M22，1，0，CD22，12，12，A1B(2，1，1)，DM0，12，12，则CDA1B0，CDDM0.CDA1B，CDDM，CD平面 BDM.答案 三、解答题 13如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点，求证：MN平面 A1BD.证明 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1
8、)于是MN12，0，12.设平面 A1BD 的法向量是 n(x，y，z)，则 nBD0，且 nDA10.得 xy0 xz0，令 x1，得 y1，z1.n(1，1，1)MNn120120，MNn.MN平面 A1BD.证法二：(上同证法一)MN12，0，12，DA1(1,0,1)，MN12DA1.又MN面 A1BD，DA1面 A1BD，MN面 A1BD.证法三：(上同证法一)MN12，0，12，又BD(1，1,0)，BA1(0，1,1)，设MNBDBA1，即 12012，解得 12，12.MN12BD12BA1.MN和BD，BA1是共面向量，又MN面 A1BD，MN平面 A1BD.14.如图，在四
9、棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，且 PAAD，E，F分别为线段 AB，PD 的中点求证：(1)AF平面 PEC；(2)AF平面 PCD.证明 证法一：以 A 为原点，向量AB，AD，AP的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 设 ABa，PAAD1，则 P(0,0,1)，C(a,1,0)，Ea2，0，0，D(0,1,0)，F0，12，12.(1)AF0，12，12，EPa2，0，1，ECa2，1，0，AF12EP12EC，又 AF平面 PEC，AF平面 PEC.(2)PD(0,1，1)，CD(a,0,0)，AFPD0，12，1
10、2(0,1，1)0，AFCD0，12，12(a,0,0)0，AFPD，AFCD，又 PDCDD，AF平面 PCD.证法二：(上同证法一)(1)AF0，12，12，EPa2，0，1，ECa2，1，0.设平面 PEC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则 n1EP且 n1EC.即 a2x1z10a2x1y10.令 x11，则 y1a2，z1a2，即 n11，a2，a2.AFn112a2 12a20，AFn1，且 AF面 PEC，AF面 PEC.(2)AF0，12，12，PD(0,1，1)，CD(a,0,0)设平面 PCD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则 n2PD且 n2CD，即 y2
11、z20ax20，令 z21，则 x20，y21.即 n2(0,1,1)，AF12n2，AF平面 PCD.15在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E，F 分别是 AC，AD 的中点求证：平面 BEF平面 ABC.证明 证法一：AEECAFFD EFCD.AB平面 BCD ABCD，BCCDABBCB CD平面ABCEFCD EF平面ABCEF平面BEF 平面 BEF平面 ABC.证法二：建系如图，取 A(0,0，a)，则易得 B(0,0,0)，C32 a，32 a，0，D()0，3a，0，E34 a，34 a，a2，F0，32 a，a2，则有EF 34 a
12、，34 a，0，BA(0,0，a)，BC32 a，32 a，0，EFBA0，EFBC0，EFAB，EFBC.又 ABBCB，EF平面 ABC，又 EF平面 BEF，平面 ABC平面 BEF.证法三：BCD90，CDBC.又 AB平面 BCD，ABCD.又 AB BCB，CD平面 ABC，CD 32 a，32 a，0 为平面 ABC 的一个法向量 设平面 BEF 的法向量为 n(x，y，z)，nEF0，即(x，y，z)34 a，34 a，00，xy.由 nBF0，即(x，y，z)0，32 a，a2 0，有 32 aya2z0z 3y.取 y1，得 n()1，1，3.nCD(1,1，3)32 a，
13、32 a，0 0，nCD.平面 BEF平面 ABC.16如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，DD1上是否存在这样的点 P，使得面 APC1面 ACC1？证明你的结论 解析 方法一：假设点 P 存在，以 D 为原点，以 DA，DC，DD1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，DPm(0m1)，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，P(0,0，m)DB(1,1,0)，AC1(1,1,1)，AP(1,0，m)，CC1(0,0,1)，AC(1,1,0)，DBCC10，DBAC0，DB是平面
14、 ACC1的一个法向量 设平面 APC1的法向量为 n(x，y，z)，则 nAP0 且 nAC10，即 xmz0 xyz0.令 z1，解得 xm，ym1.n(m，m1,1)平面 APC1平面 ACC1，DBn0，即 1m1(m1)010，m12.可见存在点 P，且当点 P 为 DD1的中点时，面 APC1面 ACC1.方法二：(上同方法一)DB是平面 ACC1的一个法向量 面 APC1面 ACC1，DB在面 APC1内或与面 APC1平行 存在实数 x 和 y，使得DBxAC1yAP.1xy1x0 xmy，解得 x1y2m12.可见存在点 P，且当点 P 为 DD1的中点时，面 APC1面 ACC1.