1、8.3 空间点、直线、平面 之间的位置关系-2-知识梳理 双基自测 23416571.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过 的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 过该点的公共直线.两点 不在一条直线上 一条 -3-知识梳理 双基自测 23416572.直线与直线的位置关系 位置关系的分类 共面直线 异面直线:不同在 一个平面内平行 相交 任何(2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
2、范围:0,2.-4-知识梳理 双基自测 23416573.公理4 平行于 的两条直线互相平行.同一条直线 -5-知识梳理 双基自测 23416574.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .相等或互补 -6-知识梳理 双基自测 23416575.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有 、三种情况.平行相交在平面内-7-知识梳理 双基自测 23416576.平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有 、两种情况.平行 相交-8-知识梳理 双基自测 23416577.常用结论(1)唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.过直线外一点有且只有一个平面与已知直
3、线垂直.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.-9-知识梳理 双基自测 2341657(3)确定平面的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(4)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.2-10-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打
4、“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.()(4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-11-知识梳理 双基自测 234152.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1
5、D.直线B1C1 答案 解析 解析 关闭只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面直线,故选D 答案 解析 关闭D-12-知识梳理 双基自测 234153.已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题:若l,m,l,m,则;若l,l,=m,则lm;若,l,则l;若l,ml,则m.其中真命题有 (写出所有真命题的序号).答案 答案 关闭-13-知识梳理 双基自测 234154.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是 .(填序号)Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb 答案 答案
6、关闭-14-知识梳理 双基自测 234155.(教材探究改编P46)如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH是正方形.答案 解析 解析 关闭易知 EHBDFG,且 EH=12BD=FG,同理 EFACHG,且EF=12AC=HG,显然四边形 EFGH 为平行四边形.(1)要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,即AC=BD;(2)要使四边形EFGH为正方形需满足 EF=EH 且 EFEH,即 AC=BD 且 ACBD.答案 解析 关闭(1)A
7、C=BD(2)AC=BD 且 ACBD-15-考点1 考点2 考点3 考点 1 平面的基本性质及应用 例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?-16-考点1 考点2 考点3 证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFA1B.又A1BCD1,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面A
8、DD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA.CE,D1F,DA三线共点.-17-考点1 考点2 考点3 解题心得1.点线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面,重合.2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.-18-考点1 考点2 考点3 对点训练1如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,
9、且BGGC=DHHC=12.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.-19-考点1 考点2 考点3 证明(1)E,F分别为AB,AD的中点,EFBD.GHBD,EFGH.E,F,G,H四点共面.(2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC,P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADC=AC,PAC,P,A,C三点共线.在BCD 中,=12,-20-考点1 考点2 考点3 考点 2 空间两条直线的位置关系 例2若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的
10、是()A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 思考如何借助空间图形确定两直线位置关系?答案 解析 解析 关闭l1与l在平面内,l2与l在平面内,若l1,l2与l都不相交,则l1l,l2l,根据直线平行的传递性,则l1l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.答案 解析 关闭D-21-考点1 考点2 考点3 解题心得解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”“至多”,否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类问题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合
11、情推理.-22-考点1 考点2 考点3 对点训练2(1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)-23-考点1 考点2 考点3(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:AM和CN是不是异面直线?说明理由.D1B和CC1是不是异面直线?说明理由.-24-考点1 考点2 考点3 答案:(1)解析:题图中,直线GHMN;题图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图中,连接MG,易知GMHN,因此GH与MN共面;题图中,G,M,N共面,但H平面GM
12、N,因此GH与MN异面.所以题图,中GH与MN异面.-25-考点1 考点2 考点3(2)解 不是异面直线.理由如下:连接MN,A1C1,AC.M,N分别是A1B1,B1C1的中点,MNA1C1.又A1AC1C,四边形A1ACC1为平行四边形,A1C1AC,MNAC.A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.-26-考点1 考点2 考点3 是异面直线.理由如下:ABCD-A1B1C1D1是正方体,B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,D1,B,C,C1,与B,C,C1,D1不共面矛盾.假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.-
13、27-考点1 考点2 考点3 考点 3 空间中线面的位置关系 例3设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是()A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直 思考如何借助空间图形确定线面位置关系?答案 解析 解析 关闭如图,m 是平面 的斜线,PA,l,lAB,则 lm,平面 内所有与 l 平行的直线都垂直于 m,故 A 错;由题意可知过 m 有且仅有一个平面PAB 与平面 垂直,假设有两个平面都与平面 垂直,则这两个平面的交线 m 应与平面 垂直,与条件矛盾,故 B 正确
14、;又 l,ll,l,lm,lm,故 C 错;又在平面 内取不在直线 AB 上的一点 D,过 D 可作平面 与平面 PAB 平行,m,平面 PAB,平面.答案 解析 关闭B-28-考点1 考点2 考点3 解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.-29-考点1 考点2 考点3 对点训练3(2016上饶模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,A
15、B和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP;对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R.其中正确的结论是 .(填序号)答案 解析 解析 关闭只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP.因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1,而D1C1AB,所以错误;当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1.因为对于任意给定的点Q,都有D1Q
16、平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q,所以正确;只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时,D1RCP,所以正确;只有CP平面A1CD1时,才正确,因为过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点,所以错误.答案 解析 关闭-30-思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位
17、置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.-31-典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有 条.-32-(3)已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题:若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn.其
18、中所有正确的命题的序号是 .答案(1)D(2)无数(3)-33-解析(1)在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.(2)(方法一)如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.-34-(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然
19、相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.(3)借助于长方体模型来解决本题,对于,可以得到平面,互相垂直,如图a所示,故正确;对于,平面,可能垂直,如图b所示,故不正确;对于,平面,可能垂直,如图c所示,故不正确;对于,由m,可得m,因为n,所以过n作平面,且=g,如图d所示,所以n与交线g平行,因为mg,所以mn,故正确.-35-反思提升1.构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.2.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.