1、1.1.3 导数的几何意义内 容 标 准学 科 素 养1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义；2.会求简单函数的导函数；3.根据导函数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.强化数学概念提升直观想象规范数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练知识点一 导数的几何意义预习教材P68，思考并完成以下问题如图，点 P(x0，f(x0)，Q(x0 x，f(x0 x)在函数 yf(x)图象上，割线 PQ 的斜率如何表示？当 x0 时，即 Q 点向 P 点无限靠近时，该割线有怎样的变化趋势，并在图象中绘出其变化趋势？提示：kfx0 xfx0 x0 xx0f
2、x0 xfx0 x；当 Q 点向 P 点无限靠近时，割线趋于一个确定位置即过 P 点处的切线，如图所示知识梳理 导数的几何意义(1)切线：如图，当点 Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线显然割线PPn 的斜率是 kn，当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kn 无限趋近于切线PT 的斜率 fxnfx0 xnx0(2)几何意义：函数 yf(x)在 xx0 处的导数就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的k，即 k斜率limx0fx0 xfx0 xf(
3、x0)知识点二 导函数预习教材P89，思考并完成以下问题已知函数 f(x)x2，分别计算 f(1)与 f(x)，它们有什么不同？提示：f(1)limx0f1xf1x2.f(x)limx0fxxfxx2x，f(1)是一个值，而 f(x)是一个函数知识梳理 导函数从求函数 f(x)在 xx0 处导数的过程可以看到，当 xx0 时，f(x0)是一个的数这样，当 x 变化时，f(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称)yf(x)的导函数有时也记作 y.即 f(x)y.确定导数limx0fxxfxx思考：1.曲线“在点 P 处的切线”与“过点 P 的切线”的差异是什么？提示：在点
4、P 处的切线，点 P 必为切点，过点 P 的切线，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在曲线上2函数 yf(x)在 xx0 处的导数与导函数 yf(x)有什么区别和联系？提示：函数 yf(x)在 xx0处的导数 f(x0)是一个函数值，即一个确定的值；导函数yf(x)是针对某一区间内任意的 x0，如果函数 yf(x)的导数都存在，则都有唯一确定的值 f(x0)与 x0 对应，所以，函数的导函数是一个函数关系因此，函数 yf(x)在 xx0 处的导数与导函数是个别与一般的关系，从而，求函数在 xx0处的导数，除利用定义直接求解外，还可以先求出导函数，再将 xx0 代入导数求解自我检测1已知函数
5、 yf(x)的图象如图，则 f(xA)与 f(xB)的关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：由图象可知函数在 A 处的切线斜率小于 B 处的切线斜率，所以根据导数的几何意义可知 f(xA)f(xB)故选 B.答案：B2在曲线 yx2上切线倾斜角为4的点是()A(0,0)B(2,4)C.14，116D.12，14解析：klimx0yxlimx0 xx2x2xlimx0(2xx)2x，所以 2xtan41，所以 x12.从而 y14.故选 D.答案：D3已知函数 f(x)ex，且其导函数 f(x)ex，则函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处
6、的切线方程为_解析：因为 f(0)e01，f(0)e01，故由点斜式得切线方程为 y11(x0)，即 xy10.答案：xy10探究一 求曲线在某点处的切线方程例 1 已知曲线 C：y13x343.(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？解析(1)将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4.所以切点 P(2,4)y|x2limx0yxlimx0132x343132343xlimx0 42x13x2 4.所以 ky|x24.所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)由 y4x4，y13x343，
7、可得(x2)(x22x8)0.解得 x12，x24.从而求得公共点为 P(2,4)或 M(4，20)，即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(4，20)方法技巧(1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)；写出切线方程，即 yy0f(x0)(xx0)特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为2，此时所求的切线平行于 y 轴，所以曲线的切线方程为 xx0.(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个跟踪探究 1.(1)幂函数 yx3 在点(2,8)处的切线方程为()Ay12x16 By12x16Cy12x16 Dy12x16(2)
8、设函数 f(x)存在导函数，且满足limx0f1f12x2x1，则曲线 yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2解析：(1)因为 ylimx02x323x12，故切线的斜率为 12，切线方程为 y12x16.(2)limx0f1f12x2xlimx0f12xf12xf(1)1.答案：(1)A(2)B探究二 求切点坐标例 2 已知抛物线 yf(x)2x21 在某点处的切线的倾斜角为 45，求该切点的坐标解析 设切点坐标为(x0，y0)，则 y2(x0 x)212x2014x0 x2(x)2，所以yx4x02x，f(x0)4x0.因为抛物线的切线的倾斜角为 45，所以斜
9、率为 tan 451.即 f(x0)4x01，得 x014，所以切点的坐标为14，98.延伸探究 1.若把“切线的倾斜角为 45”改为“切线平行于直线 4xy20”，求切点坐标解析：因为抛物线的切线平行于直线 4xy20，所以 k4，即 f(x0)4x04，得 x01，所以切点坐标为(1,3)2若把“切线的倾斜角为 45”改为“切线垂直于直线 x8y30”，求切点坐标解析：因为抛物线的切线与直线 x8y30 垂直，则 k18 1，即 k8，故 f(x0)4x08，得 x02，所以切点坐标为(2,9)方法技巧 切点问题的处理方法(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知
10、函数在某点的导数，进而求出点的横坐标(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等特别提醒：方程思想在求切点时的应用根据导数的几何意义可知，切点在切线上，又在曲线上，可联立方程求切点跟踪探究 2.已知曲线 f(x)x26 在点 P 处的切线平行于直线 4xy30，求点 P的坐标解析：设切点 P 坐标为(x0，y0)f(x)limx0fxxfxxlimx0 xx26x26xlimx0(2xx)2x.所以点 P 在(x0，y0)处的切线的斜率为 2x0.因为切线与直线 4xy30 平行，所以 2x04，x02，y0 x
11、20610，即切点 P 为(2,10)探究三 求曲线过某点的切线方程例 3 已知曲线 C：f(x)x21，求过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的切线 l 的方程解析 设切点 P0(x0，y0)，则f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx0 x0 x21x201xlimx0(2x0 x)2x0，故曲线 C 在点 P0处的切线 l 方程为 yy02x0(xx0)，即 l：yy02x0 x2x20.又 P0 在 C 上，即 y0 x201，所以 l 为：yx2012x0 x2x20.又切线 l 过点 P(0,0)，故x2012x20，所以 x201，即 x01，当 x01 时，P0(1,2
12、)，切线 l 的方程为 y22(x1)，即 y2x.同理，当 x01 时，切线 l 的方程为 y2x.所以过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的切线方程为 y2x 或 y2x.方法技巧 求过不在曲线 yf(x)上一点(x1，y1)的切线的步骤(1)设切点为 P0(x0，y0)，则切线方程为 yy0k(xx0)；(2)建立方程组y0fx0y1y0kx1x0；kfx0(3)解方程组得 k，x0，y0，从而写出切线方程跟踪探究 3.试求过点 M(1,1)且与曲线 yx31 相切的直线方程解析：yxxx31x31x3xx23x2xx3x3xx3x2(x)2.limx0yx3x2，因此 y3x2，设过(
13、1,1)点的切线与 yx31 相切于点 P(x0，x301)，据导数的几何意义，函数在点 P 处的切线的斜率为 k3x20，过(1,1)点的切线的斜率 kx3011x01，所以 3x20 x30 x01，解得 x00 或 x032，所以 k0 或 k274，因此过点 M(1,1)的切线方程有两个，分别为 y1274(x1)和 y1，即 27x4y230 和 y1.课后小结(1)导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 klimx0fx0 xfx0 xf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度(2)“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数
14、值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数 yf(x)在 xx0 处的一个函数值(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点 素养培优求曲线的切线方程混淆“在”与“过”致错易错案例：已知抛物线 yx2x1，求该抛物线过原点的切线方程易错分析：在求曲线的切线方程时要看清楚是“在某点处”，还是“过某点”，否则容易漏解致错考查学生数学概念、基本运算等学科素养自我纠正：设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)limx0 x0 x2x0 x1x20 x01x2x01，所以斜率 k2x01，故所求的切线方程为 yy0(2x01)(xx0)，将(0,0)及 y0 x20 x01 代入上式得：(x20 x01)x0(2x01)，解得 x01 或 x01，所以 k3 或 k1，所以切线方程为 y3x 或 yx，即 3xy0 或 xy0.04 课时 跟踪训练