1、7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积考纲定位重难突破1.记住柱体、锥体、台体的体积的计算公式2.会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题.重点：求简单几何体的体积、球的表面积和体积难点：空间问题的平面处理方法疑点：计算问题中对多种情况的讨论易忽略.授课提示：对应学生用书第25页自主梳理柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体(S上S下 )hS上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高双基自测1长方体的三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积为()A7B8C3 D6解析：
2、设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则则Vabc6.答案：D2圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是()A. B2C4 D6解析：VShr2h122.答案：A3若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为()A3 B.C. D.解析：设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为r，由题意，得(2r)2，得r1，所以该圆锥的体积V12.答案：B4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面面积是23，高为1，故其体积VSh313.答案：35设正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为_解析
3、：正六棱锥的高h，VSh2266.答案：6授课提示：对应学生用书第26页探究一柱体的体积问题典例1(1)如图，某简单几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是()(2)如图是一个正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点，正三棱柱的主视图如图.求正三棱柱ABCA1B1C1的体积解析(1)由该几何体的主视图、左视图可知该几何体一定是柱体，其高为1，体积为，因此底面面积为，结合选项分析知俯视图应为D.故选D.(2)由三视图可知，在正三棱柱中，AD，AA13，从而在底面即等边ABC中，AB2，所以正三棱柱的体积VShBCADAA1233.答案(1)D(2)见解
4、析求柱体的体积关键是求其底面面积和高，底面面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解1将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为34，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比解析：设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为r，r，所以两圆锥的体积之比为.探究二锥体的体积问题典例2如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高若VM4 cm，AB4 cm，VC5 cm，求棱锥的体积解析VM是棱锥的高，VMMC.在RtVMC中，MC3(cm)AC2MC6(cm
5、)在RtABC中，BC2(cm)S底ABBC428(cm2)，V锥S底h84(cm3)棱锥的体积为 cm3.1锥体的体积公式VSh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥2三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得转换后，该三棱锥的底面的面积易求、可求，高易求、可求，这一方法叫作等积法2一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个正三棱锥的体积解析：如图所示为正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AEBC.AB
6、C是边长为6的正三角形，AE63，AHAE2.在RtSHA中，SA，AH2，SH.在ABC中，SABCBCAE639，VSABC99，即这个正三棱锥的体积为9.探究三台体体积的问题典例3如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积解析作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l，作A1DAB于点D.A1D3，A1AB60，AD，Rr，BDA1Dtan 603，Rr3，R2，r，h3.V圆台(R2Rrr2)h(2)22()2321.1求台体的体积，其关键在于求高，一般地棱台把高放在直角梯形中求解，若是圆台把高放在等腰梯
7、形中求解2“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键3已知正四棱台上、下底面的边长分别为4 cm,8 cm，侧棱长为8 cm，求它的体积解析：如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，O1B12，OB4.作B1EOB于E，则在RtB1EB中，B1B8，BE422，B1E2，O1OB1E2V四棱台2(166432)(cm3)几何体体积求解典例(本题满分12分)如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好分别过AC，BC，A1C1，B1C1的中点E，F，E1，F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？规范解答当侧面A
8、A1B1B水平放置时，水的体积V等于四棱柱ABFEA1B1F1E1的体积，VV四棱柱S梯形ABFEH.4分当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积VSABCh. 6分因为E，F分别为AC，BC的中点，所以SCEFSABC，所以S梯形ABFESABC. 9分由S梯形ABFEHSABCh，即SABCHSABCh，得hH，11分故当底面ABC水平放置时，液面高为H.12分规范与警示失分点，此处易误认为是棱台导致解错明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点解题步骤要完整，此结论易漏掉在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型在研究两个几何
9、体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率随堂训练对应学生用书第27页1如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是()A.B.C. D1解析：由已知得VD1ACDSACDD1D111.答案：A2某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于()A. B.C. D.解析：作出长、宽、高分别为2、1、1的长方体由三视图可在长方体中还原出四棱锥A1BEDF，如图所示，S四边形BEDF111，VA1BEDF11，故选D.答案：D3正四棱柱底面积为P，过相对侧棱截面面积为Q，则它的体积是()A. B.QC. D.Q解析：设正四棱柱的底面边长、高分别为a，h，则Pa2，Qah，Va2haahQ.答案：D4已知某个几何体的三视图如图所示(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是_cm3.解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面部分是圆柱的一半，其底面半径r4 cm，高h10 cm，下面部分是一个长方体，长、宽、高分别为8 cm、8 cm、10 cm，所以上面部分几何体的体积为V1421080(cm3)，下面部分的体积V28810640(cm3)，该几何体的体积等于V1V2(64080)cm3.答案：64080