1、2二面角一、复习要点1涉及二面角的问题通常需作出二面角的平面角，有时也可直接利用射影面积公式2熟练掌握二面角的平面角的一般作法：定义法；三垂线定理及其逆定理；作棱的垂面3某些情况下，仅需论证一个角为二面角的平面角（参见本节专题训练题8）4二面角的范围为0180，注意分类讨论（参见本节专题训练题5） 5注意：有关二面角的问题，常伴有直线与直线所成角、直线与平面所成角和三垂线定理的综合应用，需相辅相成，才能得出结论6理科学生应会用反三角函数表示二面角的大小二、例题讲解例1如图7-12，在正方体ABCD-ABCD中，求二面角B-DB-C的大小 图7-12讲解：读者可采用先找再算的方法解之.我们不妨采
2、用间接法，先求出其补角，再求该二面角为此我们构造辅助平面ABD作BEBD于E，连结AE.BBDBAD，AEBD，AEB是二面角B-BD-A的平面角设正方体的棱长为a,则ABa,AE=BE=（3）a,AEB120，但ADCB为平行四边形，二面角ABDB与二面角BDBC互为补角，二面角BDBC为60本题打破了在半平面BDB和BDC内构作二面角的平面角的常规解法，利用半平面BDC的延伸面ABD，使得解法更为简捷例2已知正三棱锥SABC与正棱锥SABC的底面边长相等，其体积分别为V和V，二面角ASCB等于；二面角SCB等于，且试指出V和V的大小关系，并证明你的结论讲解：因为两个三棱锥的底面是全等的正三
3、角形，所以它们的体积完全由它们的高SO和SO的大小确定如图7-13，因为OF，所以SO与SO的大小完全由SF和SF的大小确定，又CFF，在RtSFC和RtSFC中，SFCF=tgSCF，SFCFtgSCF，所以SF和SF的大小完全由SCF和SCF确定在RtBDC和RtBDC中，sinSCFBDBC，sinSCFBDBC，而，所以SCF和CF的大小完全由BD和BD的大小确定图7-13在RtDEB和RtDEB中，（2），EDB=（2），又sin（2）BEBD，sin（2）BEBD，且BEE，0222，故BDBD从而VV例3已知正三棱柱-的底面面积为，、分别是侧棱BB、上的点，且2（如图7-14）求
4、截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小图7-14讲解：二面角的棱还不知道，如何作出棱则成为解题的突破口由已知条件可知，三棱柱的截面和底面ABC间的部分是完全固定的欲求的二面角的棱，在已知图形上只给出了一个点A，由于在二面角的两个半平面上存在一组共面直线、，为此分别延长、，交平面ABC于点F，连结，即得二面角的棱解题的另一关口就是作棱的垂线，找平面角作BG，垂足为G，连结GD，由三垂线定理知为所求二面角的平面角由已知可得，故BC2，1又由（12），且DB知B是FC的中点，从而，即得为，则（12）1于是，（）1，45像本例，二面角的棱在已知图形中并未出现（即无棱二面角），求解之关键是找“棱”，需
5、要把棱作出来通常情况下发现“无棱”二面角的棱有以下三种途径：（1）根据二面角两个面内的两条相交直线发现棱（如本例）；（2）根据二面角两个面内的两条平行直线发现棱；（3）补形构作几何体发现棱若全面观察分析，就会发现本题图7-14中的也是所求二面角的平面角事实上，由又面，于是又可得到，即是所求二面角之平面角这样问题也就十分简单了由此可见，我们在考虑二面角的平面角时，宜“先找后作” 三、专题训练1如果一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角的平面角的关系是（）相等互补相等或互补不确定2在直角坐标系中，已知（2，3），B（2，3），沿轴把坐标平面折成平面角为的二面角，使
6、90，则的值是（ ）（19）（19）（49）（49） 3在三棱锥P-ABC中，PC底面ABC，ACB90，ACBC，D、E分别是AB、BC的中点设PA与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角P-AB-C的大小为，则、的大小关系是（）ABCD4如图7-15，一张正方形纸片ABCD中，有（AEEB）（AFFD）（CHHB）（CGGD）（12），沿BD折起，使ABD与BCD所成的二面角为.若EFGH折起后恰成正方形（如图7-16），则cos等于（）A（79）B（12）C0D（59）图7-15图7-165若一个二面角的一个面内有一点A，它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍，则这个二面角的
7、度数是_6已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB，2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是_ 7的一边BC在平面内，顶点A在平面外，60，所在的平面与平面成30的二面角，则AB所在的直线与平面所成的角的正弦值是_8如图7-17，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA，求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数图7-179如图7-18，AB是O的直径，C为圆周上任意一点PA平面ABC，AB与AC的夹角是，二面角-为，与平面ABC所成的角为图7-18（1）若点A在PB、PC上的射影分别是E、F，求证；（2）证明：10如图7-19，在底面是直角梯形的四棱锥-中，90，面，SA1，12图7-19（1）求四棱锥-的体积； （2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值