1、高考资源网（） 您身边的高考专家6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较内容标准学科素养1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型.精准数学建模加强数形结合提升数据分析授课提示：对应学生用书第60页基础认识知识点一三种函数模型的性质(1)若x(1,2)，则下列结论正确的是()(2)当x4时，a4x，blog4x，cx4的大小关系是_提示：(1)A(2)bca知识梳理三种函数模型的性质(1)当a1时，指数函数yax在R上是增函数，对数函数ylogax在(0，)上是增函数；当0a1时，指数函数yax在R上是减函数，对数函数ylogax在(0，)上是减函数(2)幂
2、函数yx，当0时，在(0，)上是增函数知识点二三种函数的增长趋势(1)在函数y3x，ylog3x，y3x，yx3中增长速度最快的是_(2)如图所示曲线反映的是_函数模型的增长趋势提示：(1)y3x(2)幂函数或对数型 知识梳理三种函数的增长趋势当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快当x0，n1时，幂函数yxn是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快知识点三三种函数的增长对比(1)在区间(0，)上，当a1，n0时，是否总有logaxxnax成立提示：不是，但总存在x0，使得当a1
3、，n0，xx0时，logaxxnax成立(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义？提示：如1个细胞分裂x次后的数量为y2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图像上看出，存在x0，当xx0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果 知识梳理三种函数的增长对比对数函数ylogax(a1)增长最慢，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有axxnlogax.思考：1.函数yx2与y2x在(0，)上具有相同的增长速度吗？提示：增长速度不同如图所示，在(0,2)之间yx2的增长速度较快，在(2,4)之间函数值均从4增大到16，而x4之后，y2x的
4、增长速度远远快于yx2的增长速度2当实际问题提供的两个变量的数量关系有怎样的增长规律时，我们选择一次函数模型，对数函数模型，指数函数模型？提示：均匀增长，增量恒定时，一般选择一次函数模型，缓慢增长，增量逐渐变小时，一般选择对数函数模型；急剧增长，增量快速增大时，选择指数函数模型 自我检测1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay2x Bylog2xCyx2 Dy2x解析：当x越来越大时，y2x的增长速度最快答案：D2某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A
5、一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数解析：对数函数的增长速度是先快后慢型的函数，故D符合题意答案：D3三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.207.40则与x呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是_解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸性增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合表格，分别对应y3，y2，y1.答案：y3，y2，y1授课提示：对应学生用书第61页探究一函数模型的
6、增长差异例1在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图像，并比较它们的增长情况：(1)y0.1ex100，x1,10；(2)y20ln x100，x1,10；(3)y20x，x1,10思路点拨借助计算机(器)画出函数图像，并比较增长情况解析图像如图所示：由图像可以看到：函数(1)以爆炸式速度增长；函数(2)增长速度缓慢，并逐渐趋于稳定；函数(3)以稳定的速率在增长方法技巧在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而y
7、logax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.跟踪探究1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()Ayex By100 ln xCyx100 Dy1002x解析：指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.答案：A探究二函数模型的选择问题例2某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义在第一、二、三、四年现
8、在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？思路点拨把点(1,8)，(2,18)，(3,30)代入两个模型求相应曲线验证x4时，y值与43的误差得出结论解析建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42.则g
9、(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系方法技巧1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数2函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合跟踪探究2.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：时间x50110250种植成本y1
10、50108150(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：yaxb，yax2bxc，yabx，yalogax.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本解析：(1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，a0，而此时yaxb，yabx，yalogax均为单调函数，与表中数据不符，因此yax2bxc，将三组数据代入得得描述西红柿种植成本y与上市时间x的关系为yx2x.(2)当x150时，ymin100(元/102kg)探究三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例3函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示设两函数的图
11、像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小解析(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，所以1x12,9x210，所以x16x2,2 011x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)g(6)当xx2时，f(x)g(x)，所以f(2 011)g(2 011)又因为g(2 011)g(6)，所以f(2 011)g(2 01
12、1)g(6)f(6)延伸探究(改变问法)本例条件不变，(2)中结论若改为：试结合图像，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小解析：因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，所以1x12,9x210，所以x18x2，2 015x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(8)g(8)当xx2时，f(x)g(x)，所以f(2 015)g(2 015)又因为g(2 015)g(8)，所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8)方法技巧由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数
13、函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增长，图像最“陡”的函数是指数函数，图像趋于平缓的函数是对数函数跟踪探究3.函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示：(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解析：(1)曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当0xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，g(x)f(x).授课提示：对应学生用书第62页课后小结
14、三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型：表达式为f(x)abxc(a，b，c为常数，a0)，当b1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0b1时，函数值由快到慢地减少(2)对数函数模型：表达式为f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0)，当a1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0a1时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢(3)幂函数模型：表达式为f(x)axb(a，b，为常数，a0，1，0)，其增长情况由a和的取值确定，常见的有二次函数模型素养培优忽略实
15、际需求而致错易错案例：图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A：一份30 min前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润其中情境A、B、C、D分别对应的图像是_易错分析：一些问题以实际问题为背景时必须考虑实际需求，否则容易造成偏差考查数学建模、数形结合的学科素养自我纠正：情境A，初始函数值为负值，加热时温度升高很快，然后又变凉，与对应情境B，过时物品价值下降，收藏后成为古董又会升值，与对应情境C，由于洗澡一般是间歇性用水，易知水的高度函数图像有多重折线，与对应情境D，随乘客的增加，每趟利润增加，因此递增，与对应答案：- 7 - 版权所有高考资源网