1、8.2 空间几何体的表面积与体积-2-知识梳理 双基自测 23411.多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 ,表面积是侧面积与底面面积之和.所有侧面的面积之和 -3-知识梳理 双基自测 23412.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆 柱 圆 锥 圆 台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧=S 圆锥侧=S 圆台侧=2rl rl(r1+r2)l -4-知识梳理 双基自测 23413.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)S 表面积=S 侧+2S 底 V=锥体(棱锥和圆锥)S 表面积=S 侧+S 底 V=台体(棱台和圆
2、台)S 表面积=S 侧+S 上+S 下 V=13(S 上+S 下+S上S下)h 球 S=V=Sh 13Sh 4R2 43R3-5-知识梳理 双基自测 23414.常用结论(1)与体积有关的几个结论 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球切、接有关的常用结论 正方体的棱长为a,球的半径为R,正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.a.若球为正方体的外接球,则 2R=3a;b.若球为正方体的内切球,则 2R=a;c.若球与正方体的各棱相切,则 2R=2a.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R
3、=2+2+2.2-6-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2.()(4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9.()(3)若一个球的体积为 4 3,则它的表面积为 12.()(5)将圆心角为23,面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于 4.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-7-知识梳理 双基自测 234
4、152.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,它的表面积为 .答案 解析 解析 关闭过 S 作 SDBC,BC=a,SD=32 a.SSBC=34 a2.表面积 S=4 34 a2=3a2.答案 解析 关闭 3a2-8-知识梳理 双基自测 234153.已知某四棱锥,底面是边长为2的正方形,且俯视图如图所示,若该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为 .答案 解析 解析 关闭由俯视图可知,四棱锥顶点在底面的射影为 O(如图),又侧视图为直角三角形,则直角三角形的斜边为 BC=2,斜边上的高为 SO=1,此高即为四棱锥的高,故 V=13221=43.答案 解析 关闭43-9-知识
5、梳理 双基自测 234154.(教材习题改编P29TB1)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 .答案 解析 解析 关闭由三视图可知,该几何体由一个正四棱柱和一个底面为梯形的四棱柱组成,其表面积S=342+222+42 22+46+12(2+6)22=72+16 2.答案 解析 关闭72+16 2-10-知识梳理 双基自测 234155.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为直角三角形,ACB=90,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C,则其爬行路程的最小值为 .答案 解析 解析 关闭由题意知,把面 BB1C1C
6、沿 BB1 展开与面 AA1B1B 在一个平面上,如图所示,连接 A1C 即可,则 A1,P,C 三点共线时,CP+PA1 最小,ACB=90,AC=4,BC=C1C=3,A1B1=AB=42+32=5,A1C1=5+3=8,A1C=82+32=73.故 CP+PA1 的最小值为 73.答案 解析 关闭 73 -11-考点1 考点2 考点3 考点 1 空间几何体的表面积 例1(2016全国甲卷,理6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20 B.24 C.28D.32 思考求几何体的表面积的关键是什么?答案 解析 解析 关闭由题意可知,该几何体由同底面的一个
7、圆柱和一个圆锥构成,圆柱的侧面积为 S1=224=16,圆锥的侧面积为S2=1222(2 3)2+22=8,圆柱的底面面积为 S3=22=4,故该几何体的表面积为 S=S1+S2+S3=28,故选 C.答案 解析 关闭C-12-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求几何体的表面积,关键在于根据三视图还原几何体,要掌握常见几何体的三视图,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系;有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.-13-考
8、点1 考点2 考点3 对点训练1(2016全国乙卷,理6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是则它的表面积是()A.17 B.18 C.20D.28 283,答案 解析 解析 关闭由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则78 43 R3=283,解得 R=2,所以它的表面积为784R2+34R2=14+3=17.答案 解析 关闭A-14-考点1 考点2 考点3 考点 2 空间几何体的体积 例 2 在梯形 ABCD 中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何
9、体的体积为()A.23B.43C.53D.2思考求旋转体的体积的关键是什么?答案 解析 解析 关闭由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱=122=2,V 圆锥=13 121=3.V 几何体=V 圆柱-V 圆锥=2-3=53.答案 解析 关闭C-15-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求旋转体体积的关键是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量.2.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高.3.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.-16-考点1 考点2 考点3 对点训练2某几何体
10、的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8 cm3B.12 cm3C.323 cm3D.403 cm3 答案 解析 解析 关闭由三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为 2 cm,正四棱锥的高为 2 cm,则该几何体的体积 V=222+13222=323(cm3),故选 C.答案 解析 关闭C-17-考点1 考点2 考点3 考点 3 与球有关的切、接问题 例 3(1)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.323 C.8D.4-18-考点1 考点2 考点3(2)四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上
11、,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2 ,则该球的表面积为()A.9B.3C.2 D.12 2 2-19-考点1 考点2 考点3 12=.(3)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则 思考解决与球有关的切、接问题的关键是什么?答案:(1)A(2)D(3)6 3 解析:(1)设正方体的棱长为 a,由 a3=8,得 a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故 2r=32,则 r=3.所以该球的表面积为 4(3)2=12,故选 A.-20-考点1 考点2 考点3(2)该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体截得,
12、则正方体外接球的直径即为 PC.由直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2,可知正方形 ABCD 对角线 AC 的长为 2 2,可得 a=2,在PAC 中,PC=22+(2 2)2=2 3,球的半径 R=3,所以 S 表=4R2=4(3)2=12.-21-考点1 考点2 考点3(3)设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为S1=4 34 a2=3a2,其内切球半径为正四面体高的14,即 r=14 63 a=612a,因此内切球表面积为 S2=4r2=26,则12=3262=6 3.-22-考点1 考点2 考点3 解题心得解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关
13、系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.3-23-考点1 考点2 考点3 对点训练3(1)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256(2)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()(3)(2016江西九江一模)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=,过点D作DE垂直于平面ABC
14、D,交球O于E,则棱锥E-ABCD的体积为 .A.4B.92C.6D.323-24-考点1 考点2 考点3 答案:(1)C(2)B(3)2 3 解析:(1)由AOB 面积确定,若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 上的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径 R,所以 VO-ABC=13 12R2R=36,解得 R=6,故 S 球=4R2=144.(2)由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为 R,易得ABC 的内切圆的半径为6+8-102=2,则R2.因为 2R3,即 R32,所以 Vmax=43 32 3=92,故选 B.-25-考点1 考点2 考点3(3)如图
15、所示,由题意易知 BE 过球心 O,则 DE=42-32-(3)2=2,所以 VE-ABCD=133 32=2 3.-26-思想方法转化思想在立体几何计算中的应用 空间几何体的三视图与体积、表面积结合命题是高考的热点,旨在考查学生的识图、用图能力及空间想象能力与运算能力.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解.-27-典例如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 .答案16-28-解析(方法一)三棱锥 D1-EDF 的体积即为三棱锥F-DD1E 的体积.因为 E,F 分别为AA1,B1C 上的点,所以在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EDD1 的面积为定值12,F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1,所以1-=-1=13 121=16.(方法二)E 点移动到 A 点,F 点移动到 C 点,则1-=1-=13 12111=16.-29-反思提升1.利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面.2.求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算.