1、黑龙江省绥化市三校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1（5分）命题“若ab，则a+cb+c”的逆否命题为（）A若ab，则a+cb+cB若ab，则a+cb+cC若a+cb+c，则abD若a+cb+c，则ab2（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A=1B=1C=1D=13（5分）已知双曲线=1（a0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x4（5分）函数f（x）=x22ax+1在（，2上是单调递减函数的
2、必要不充分条件是（）Aa2Ba=6Ca3Da05（5分）过抛物线y2=x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则MFN等于（）A45B60C90D以上都不对6（5分）有下列四个命题：命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”的否命题；命题“若m1，则x22x+m=0有实根”的逆否命题；命题“若AB=B，则AB”的逆否命题其中是真命题的个数是（）A1B2C3D47（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|n|0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）ABCD8（5分）已知动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A两条
3、相交直线B抛物线C双曲线D椭圆9（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）ABCD10（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A8BC10D11（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则F1PF2的面积是（）A4B2C1D12（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k20），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2
4、|的最小值为（）A1BCD2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是14（5分）过抛物线y2=12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为9，则|AB|=15（5分）已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是16（5分）设点P是椭圆=1（ab0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆
5、心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（1）求圆C的方程；（2）设直线axy+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围18（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B（）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值19（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，若右焦点到直线xy+2=0的距离为3（）求椭圆的方程；（）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由20（12分）如图，已知四棱锥SA
6、BCD中，SAD是边长为a的正三角形，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为菱形，DAB=60，P为AD的中点，Q为SB的中点（）求证：PQ平面SCD；（）求二面角BPCQ的大小21（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求的取值范围22（12分）如图，椭圆=1（ab0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点若直线l绕点F任意转动，值有|OA|
7、2+|OB|2|AB|2，求a的取值范围黑龙江省绥化市三校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1（5分）命题“若ab，则a+cb+c”的逆否命题为（）A若ab，则a+cb+cB若ab，则a+cb+cC若a+cb+c，则abD若a+cb+c，则ab考点：四种命题间的逆否关系 专题：阅读型分析：把所给的命题看做一个原命题，写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，得到结果解答：解：把“若ab，则a+cb+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交
8、换位置，它的逆否命题是：“若a+cb+c，则ab”，故选D点评：本题考查求一个命题的逆否命题，实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定的，所有的命题都可以看做原命题，写出它的其他三个命题属基础题2（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A=1B=1C=1D=1考点：双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出的值即可解答：解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c=5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则6
9、436=25，解得=，所以双曲线方程为，故选：A点评：本题考查渐近线相同的双曲线方程设法，以及椭圆、双曲线的基本量的关系，属于中档题3（5分）已知双曲线=1（a0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线=1（a0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可解答：解：双曲线=1（a0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=双曲线=1的渐近线方程为：y=x故选：D点评：本题考查双曲线的简单性质，考查双曲
10、线的渐近线方程，属于中档题4（5分）函数f（x）=x22ax+1在（，2上是单调递减函数的必要不充分条件是（）Aa2Ba=6Ca3Da0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据二次函数的性质得出：函数f（x）=x22ax+1在（，2上是单调递减函数，对称轴x=a，a2，再根据充分必要条件的定义可判断解答：解：函数f（x）=x22ax+1在（，2上是单调递减函数，对称轴x=aa2，根据充分必要条件的定义可判断：a0是必要不充分条件，故选：D点评：本题考查了函数的性质，充分必要条件的定义属于容易题，难度不大5（5分）过抛物线y2=x的焦点F的直线交抛物线
11、于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则MFN等于（）A45B60C90D以上都不对考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：由抛物线的性质有|FA|=|MA|，推断出AMF=AFM，同理BFN=BNF，再有两直线平行内错角相等，可得出结论解答：解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，AMF=AFM，同理BFN=BNF，AMx轴BN，MFO=AMFAFO=MFO，同理可知BFN=NFOMFN=MFO+NF0=90故选B点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和平面几何的基础知识灵活利用了抛物线的定义解决实际问题6（5分）有下列四个命题：命题“若xy
12、=1，则x，y互为倒数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”的否命题；命题“若m1，则x22x+m=0有实根”的逆否命题；命题“若AB=B，则AB”的逆否命题其中是真命题的个数是（）A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：写出相应的命题，再加以判断；利用原命题与逆否命题有相同的真假性解答：解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，方程x22x+m=0有实根=44m0m1，原命题“若m1，则
13、x22x+m=0有实根”是假命题，错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，命题“若AB=B，则AB”为假命题，错误真命题的个数是2，故选：B点评：本题给出几个命题，要我们找出其中真命题的个数着重考查了倒数的定义、全等三角形的性质、一元二次方程根的判别式和集合的运算性质等知识，考查了四种命题及其相互关系，属于中档题7（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|n|0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）ABCD考点：曲线与方程 专题：作图题；分类讨论分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示焦点在y轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2= 开口
14、向右，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示 双曲线解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示椭圆或双曲线当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项当m和n异号时，抛物线 y2= 开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示 双曲线，故选 A点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键8（5分）已知动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A两条相交直线B抛物线C双曲线D椭圆考点：轨迹方程 专题：计算题；圆锥曲线的
15、定义、性质与方程分析：分别令f（x）=，g（x）=，他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等，利用抛物线的定义推断出答案解答：解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线故选B点评：本题主要考查了抛物线的定义，点的轨迹方程问题关键是对方程的几何意义的灵活应用9（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）ABCD考点：圆与圆
16、锥曲线的综合 专题：计算题分析：根据题意思可得：点P是切点，所以PF2=c并且PF1PF2所以PF1F2=30，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2ac进而得到答案解答：解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1PF2又因为F1F2=2c，所以PF1F2=30，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2ac所以2ac=，所以e=故选D点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义10（5分）已知点P为抛物线y=x
17、2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A8BC10D考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求解答：解：依题意可知，抛物线y=x2即抛物线2y=x2焦点为（0，），准线方程为y=，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值不会
18、影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|=10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|=故选：B点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生数形结合的思想和分析推理能力11（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则F1PF2的面积是（）A4B2C1D考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：不妨设P为双曲线
19、右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1PF2=2，解方程，再判断三角形PF1F2为直角三角形，由面积公式即可得到解答：解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2，F1F2=2，由于（2）2+（2）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选C点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和定义，考查三角形的面积计算，属于基础题12（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k20）
20、，若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A1BCD2考点：椭圆的简单性质；基本不等式 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k1|+|k2|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x0=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值解答：解：设M（t，s），N（t，s），t0，a，s0，b，A（a，0），B（a，0），k1=，k2=|k1|+|k2|=|+|2=2当且仅当=，即t=0时等号成立因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，s），即s=b
21、|k1|+|k2|的最小值为，椭圆的离心率为，a=2b|k1|+|k2|的最小值为1故选A点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对于椭圆，过焦点的弦中垂直于x轴的弦最短，所以x=，带入椭圆方程即可求出对应y值，从而求出最短的弦长解答：解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；x=时，y=；最短弦长为故答案为：点评：考查椭圆
22、的标准方程，椭圆的焦点，弦的概念，以及过焦点的弦中垂直于x轴的弦最短14（5分）过抛物线y2=12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为9，则|AB|=24考点：抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线方程求得p，进而利用抛物线上的点到焦点的距离和到准选距离相等的性质表示用两个点的横坐标表示出AB的长度，利用线段AB的中点的横坐标求得A，B两点横坐标的和，最后求得答案解答：解：抛物线的方程为y2=12x，2p=12，p=6，|AB|=xA+xB+p=xA+xB+6，若线段AB的中点M的横坐标为9，（xA+xB）=9，xA+xB=18，
23、|AB|=18+6=24故答案为：24点评：本题给出过抛物线y2=12x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，把线段长度的转化为点的横坐标的问题是解题的关键15（5分）已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）由此可求出它到双曲线中心的距离解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点
24、，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）它到中心（0，0）的距离为d=故答案为：点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用16（5分）设点P是椭圆=1（ab0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据已知条件容易判断出P点在y轴的右侧，所以联立椭圆与圆的方程可求出P点坐标，根据椭圆的定义及条件|PF1|=3|PF2|可得到，所以根据两点间的距离公式即可得到关于a，b的方程，通过解方程可得到a，b的关系式：a=，所以可得到a，c的关系式：
25、7a2=8c2，从而求出离心率解答：解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；|PF1|+|PF2|=2a，由|PF1|=3|PF2|得，；，F2（c，0）；，整理得：a=2，或a=（舍去）；a2=8b2=8a28c2；7a2=8c2；故答案为：点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，两点间距离公式，离心率的定义三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（1）求圆C的方程；（2）设直线axy+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围考点：直线与圆相交的性质；
26、直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：（1）设圆心M的坐标为（m，0），且m是整数，由圆C与已知直线垂直，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出圆C的方程；（2）由直线axy+5=0，表示出y，代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围解答：解：（1）设圆心为M（m，0）（mZ），圆C与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，圆心，到直线4x+3y29=0的距离d=r，即=5，即|4m29|=25，m为整数，m=1，则所
27、求圆的方程为（x1）2+y2=25；（2）直线axy+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，直线axy+5=0交圆于A，B两点，=4（5a1）24（a2+1）0，即12a25a0，解得：a0或a，则实数a的取值范围是（，0）（，+）点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，一元二次方程根的判别式与解的关系，一元二次不等式的解法，解题的关键是：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；将直线与圆的方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的个数决定了直线与圆交点的个
28、数18（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B（）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积（）P（x，y），则|PQ|=，即可得出结论解答：解：（）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y24ty4=
29、0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=4=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=4t2+4t2+14=3（）设P（x，y），则|PQ|=，x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，|PQ|min=4点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为抛物线的方程联立得到根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题19（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，若右焦点到直线xy+2=0的距离为3（）求椭圆的方程；（）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|A
30、M|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，设出椭圆的方程，利用右焦点到直线xy+2=0的距离为3，即可求解椭圆方程；（）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，中点为P，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式求出m的范围，通过中点坐标，以及|AM|=|AN|；求出m的值；判断即可解答：解：（）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F（）由题设，解得a2=3故所求椭圆的方程为（）设P为弦MN的中点，由得 4x2+6mx+3
31、m23=0由于直线与椭圆有两个交点，0，解得：2m2由韦达定理可知：，从而，又|AM|=|AN|，APMN，则，即m=2，因为：2m2所以不存在实数m使|AM|=|AN|点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，存在性问题的解题策略，难度比较大，注意m的范围是易错点20（12分）如图，已知四棱锥SABCD中，SAD是边长为a的正三角形，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为菱形，DAB=60，P为AD的中点，Q为SB的中点（）求证：PQ平面SCD；（）求二面角BPCQ的大小考点：直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：常规题型；证明题；转化思想分析：（1）取
32、SC的中点R，连QR，DR，PDBC且PD=BC，QRBC且QP=BC，由公理4得PQDR，从而有PQ面SCD（2）以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，只要求得两半平面的一个法向量即可，先求得相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，然后用向量的夹角公式求解解答：证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR由题意知：PDBC且PD=BC；QRBC且QP=BC，QRPD且QR=PDPQDR，又PQ面SCD，PQ面SCD（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（a，a，0），Q（0
33、，a）面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos，二面角BPCQ的大小为arccos（12分）点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系的转化及平面图形的应用，还考查了向量法在求二面角中的应用，属中档题21（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求的取值范围考点：轨迹方程；平面向量数量积的运算 专题：综合题；向量与圆锥曲线分析：（1）由点P（x，y），点Q与点P关于y轴对称题设知Q（x，y），设A（a，0），B（0，b）
34、，由且，知，由此能求出点P的轨迹M的方程（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx2k，联立，得（3k2+1）x212k2x+12k23=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=（x12）（x22）+y1y2=（1+k2）（x12）（x22），利用韦达定理能求出的取值范围解答：解：（1）过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，Q（x，y），设A（a，0），B（0，b），O为坐标原点，=（x，yb），=（ax，y），=（x，y），且，解得点P的轨迹M的方程为（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx2k，联立，得（3k2+1）x212k2x+12k23
35、=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x12，y1），=（x22，y2），=（x12）（x22）+y1y2=（1+k2）（x12）（x22）=（1+k2）x1x22（x1+x2）+4=（1+k2）（+4）=+，当k2的最小值；当k=0时，的最大值为1的取值范围是（，1点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量乘积人取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和向量知识的合理运用22（12分）如图，椭圆=1（ab0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点若
36、直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2|AB|2，求a的取值范围考点：椭圆的应用；其他不等式的解法 专题：计算题；压轴题分析：（）设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|2+|OB|2|AB|2（）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，由题设条件能够推导出=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y20恒成立由此入手能够推导出a的取值范围解答：解：（）设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，所以，即1=，解得a2=
37、b2+1=4，因此，椭圆方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a21），因此，恒有|OA|2+|OB|2|AB|2（）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2，所以AOB恒为钝角即恒成立x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=又a2+b2m20，所以m2a2b2+b2a2b2+a20对mR恒成立，即a2b2m2a2a2b2+b2对mR恒成立当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2a2b2+b20a2a2b2b2，a2（a21）b2=b4，因为a0，b0，所以ab2，即a2a10，解得a或a（舍去），即a，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，不等式的解法等基本知识，考查运算能力和综合解题能力解题时要注意运算能力的培养
