1、难点27 求空间的角空间的角是空间图形的一个要素,在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上,较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.难点磁场()如图,l为60的二面角,等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上,M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角. (1)求证:MN分别与、所成角相等;(2)求MN与所成角.案例探究例1在棱长为a的正方体ABCDABCD中,E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)求直线AC与DE所成的角;(3)求直线AD与平面BEDF所成的角;(4)求面BEDF与面ABCD所成的角.命题意图:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及
2、二面角的一般求法,综合性较强,属级题目.知识依托:平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析:对于第(1)问,若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的,因为存在着四边相等的空间四边形,必须证明B、E、D、F四点共面.技巧与方法:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明:如上图所示,由勾股定理,得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面,取AD中点G,连结AG、EG,由EGABAB知,BEGA是平行四边形.BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形.AGFD,B、E、D、F四
3、点共面故四边形BEDF是菱形. (2)解:如图所示,在平面ABCD内,过C作CPDE,交直线AD于P,则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在ACP中,易得AC=a,CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos. (3)解:ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.又BEDF为菱形,DB为EDF的平分线,故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中,AD=a,AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos.(4)解:如图,连结EF、BD,交于O点,显然O为BD的中点,从而O为
4、正方形ABCDABCD的中心.作OH平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心,再作HMDE,垂足为M,连结OM,则OMDE,故OMH为二面角BDEA的平面角.在RtDOE中,OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中,sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin.例2如下图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求:(1)AC1的长;(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.命题意图:本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题,属级题目.知识依托:向量的加、减及向
5、量的数量积.错解分析:注意=,=120而不是60,=90.技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.BD1与AC所成角的余弦值为.锦囊妙计空间角的计算步骤:一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围:090方法:平移法;补形法.2.直线与平面所成的角 范围:090方法:关键是作垂线,找射影.3.二面角方法:定义法;三垂线定理及其逆定理;垂面法.注:二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算歼灭难点训练一、选择题1.()在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是( )A.B.C.D.2.
6、()设ABC和DBC所在两平面互相垂直,且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A.30B.45C.60D.75二、填空题3.()已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC,与OA、OB分别成45、60,则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_.4.()正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_.三、解答题5.()已知四边形ABCD为直角梯形,ADBC,ABC=90,PA平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长;(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小;(3)求证:二面角B
7、PCD为直二面角.6.()设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直,且AB=BC=BD,ABC=DBC=120求:(1)直线AD与平面BCD所成角的大小;(2)异面直线AD与BC所成的角;(3)二面角ABDC的大小.7.()一副三角板拼成一个四边形ABCD,如图,然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证:平面ABD平面ACD;(2)求AD与BC所成的角;(3)求二面角ABDC的大小.8.()设D是ABC的BC边上一点,把ACD沿AD折起,使C点所处的新位置C在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证:直线CD与平面ABD和平面AHC所成的两个角之和不可能超过90;(2)若BAC=90,二面角C
8、ADH为60,求BAD的正切值.参考答案难点磁场(1)证明:作NA于A,MB于B,连接AP、PB、BN、AM,再作ACl于C,BDl于D,连接NC、MD.NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角,MNB,NMA分别是MN与,所成角,MPB=NPA.在RtMPB与RtNPA中,PM=PN,MPB=NPA,MPBNPA,MB=NA.在RtMNB与RtNMA中,MB=NA,MN是公共边,MNBNMA,MNB=NMA,即(1)结论成立.(2)解:设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin,NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角,MDB=60,
9、同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB,MPPN,BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得,16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=,当sin=时,CN=asin= aPN不合理,舍去.sin=,MN与所成角为30.歼灭难点训练一、1.解析:(特殊位置法)将P点取为A1,作OEAD于E,连结A1E,则A1E为OA1的射影,又AMA1E,AMOA1,即AM与OP成90角.答案:D2.解析:作AOCB的延长线,连OD,则OD即为AD在平面BCD上的射影,AO=OD=a,ADO=45.答案:B二、3.解析:在OC上取一点C,使OC=1,过
10、C分别作CAOC交OA于A,CBOC交OB于B,则AC=1,OA=,BC=,OB=2,RtAOB中,AB2=6,ABC中,由余弦定理,得cosACB=.答案:4.解析:设一个侧面面积为S1,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为,由题设得,设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60.答案:60三、5.(1)解:因为PA平面AC,ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB=.PC=.(2)解:如图,过点C作CEBD交AD的延长线于E,连结PE,则PC与BD所成的角为PCE或它的补角.CE=BD=,且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为.(3)证明:设PB、
11、PC中点分别为G、F,连结FG、AG、DF,则GFBCAD,且GF=BC=1=AD,从而四边形ADFG为平行四边形,又AD平面PAB,ADAG,即ADFG为矩形,DFFG.在PCD中,PD=,CD=,F为BC中点,DFPC从而DF平面PBC,故平面PDC平面PBC,即二面角BPCD为直二面角.6.解:(1)如图,在平面ABC内,过A作AHBC,垂足为H,则AH平面DBC,ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知AHBAHD,则DHBH,AH=DH,ADH=45(2)BCDH,且DH为AD在平面BCD上的射影,BCAD,故AD与BC所成的角为90.(3)过H作HRBD,垂足为R,连结AR
12、,则由三垂线定理知,ARBD,故ARH为二面角ABDC的平面角的补角.设BC=a,则由题设知,AH=DH=,在HDB中,HR=a,tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2.7.(1)证明:取BC中点E,连结AE,AB=AC,AEBC平面ABC平面BCD,AE平面BCD,BCCD,由三垂线定理知ABCD.又ABAC,AB平面BCD,AB平面ABD.平面ABD平面ACD.(2)解:在面BCD内,过D作DFBC,过E作EFDF,交DF于F,由三垂线定理知AFDF,ADF为AD与BC所成的角.设AB=m,则BC=m,CE=DF=m,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解:AE面BCD,过E作EGBD于G,连结AG,由三垂线定理知AGBD,AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30,BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.即二面角ABDC的大小为arctan2.8.(1)证明:连结DH,CH平面ABD,CDH为CD与平面ABD所成的角且平面CHA平面ABD,过D作DEAB,垂足为E,则DE平面CHA.故DCE为CD与平面CHA所成的角sinDCE=sinDCHDCEDCH,DCE+CDEDCH+CDE=90(2)解:作HGAD,垂足为G,连结CG,则CGAD,故CGH是二面角CADH的平面角即CGH=60,计算得tanBAD=.