1、3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 1.回顾初中函数的表示方法有哪些？2221()()_;()_;()_.f xxxff afa2.已知函数，则131()_xf xx.函数的定义域为2 2aa2462aa|11x xx 且(1,1)或(-,-1)提示：解析法、列表法、图象法。生活中函数的例子随处可见，例如边长为x的正方形田地的面积计算,以及在股市交易所中会经常见到的股票指数曲线图等.想一想，生活中的 这些函数实例，它 们都是以什么“面 貌”呈现在我们面 前的?通过本节课的学习，将会有一个全新的认识.1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的优点.(重点）
2、2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.会求函数解析式，并正确画出函数的图象.(难点）数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂微课1 函数的三种表示法 在初中我们学习了函数的哪几种表示法？每种表示法的意思是什么？提示：函数有三种表示法，即解析法、图象法、列表法.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.下面我们对这三种方法进行详细的分析.1.解析法 优点:函数关系清楚、精确；容易从自变量的值求
3、出其对应的函数值；便于研究函数的性质.解析法是中学研究函数的主要表达方法.222:S60t,Ar,yaxbxc(a0)如2.列表法 观察下面的表格，思考下列问题.(a，b，cR)（1）上述表格表示y是x的函数吗？提示：是.根据函数的定义知，对x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应，因此y是x的函数.x a b c y 0 0 0（2）所有的函数都能用列表法来表示吗？提示：并不是所有函数都能用列表法来表示，如函数y=2x+1,xR.因为自变量xR不能一一列出，所以不能用列表法来表示.列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表,银行里的“利率表
4、”等.优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.3.图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.如：一次函数ykxb(k0、b0)的图象是一条直线；y O x 优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.图象法可以较好反映函数的哪些要素？函数值随自变量变化的趋势，定义域，值域.下图是我国人口出生率变化曲线 你能说出函数的三种表示法的优缺点吗？优 点 缺 点 列表法图象法函数关系清楚;容易从自变量的值求出其 对应的函数值；便于研究函数的性质.不够形象直观，而且并不是所有的函数关系式
5、都可以用数学式子表示.不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值 只适用于自变量数目较少的函数.能形象直观的表示出函数的变化情况 不精确 解析法【总结提升】设集合M=x|0 x2，集合N=y|0y2，给 出下列四个图象，其中能表示集合M到N的函数关系 的是_.【即时训练】例1 某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x).x x1,2,3,4,5笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 y5x,x1,2,3,4,5.解：这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5 列表法表示如下：用解析法表示为 用图象法可将函数表示为下图
6、012345510152025xy定义域要优先考虑注意数学问题的实际背景函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.【特别提醒】(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？提示：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).提示：函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域.【思考交流】如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数 x22500,yxx(050)xABCD提示：【变式练习】第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6
7、次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 例2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.测试 序号 成 绩 姓名 解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.这对我们的分析很有帮助.从图中我们看到，王伟同学
8、的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀，张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大，赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是 返回家里找到了作业本再上学.(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵 塞，耽搁了一些时间.(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开 始加速 离开家的距离离开家的距离离开家的距离离开家的距离时间时间时间时间 A B C D D A B【变式练习】作
9、函数图象时应注意的事项:(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.【规律总结】把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式.微课2 求函数解析式 二、求函数解析式的常用方法有：1.待定系数法.2.换元法(构造法).3.消元法.一、函数的解析式:若 f（x）是一次函数，且 ff（x）16x25，则 f（x）解析：设 f（x）kxb（k0）代入 ff（x）16x25 比较系数得 f（x）
10、4x5 或 f（x）4x253.4x5或4x 253【即时训练】例3 已知f(x)是一次函数，f(f(x)=4x1，求 f(x)的解析式.解：设f(x)=kx+b（k0）则 f(f(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x1 2k4kbb1 则有k2k21b1b3 或1f(x)2xf(x)2x13 或待定系数法 适合：已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数解析式.已知二次函数 f(x)的图象过点 A(0，5)，B(5,0)，其对称轴为 x2，求其解析式解析 因为抛物线的对称轴为 x2，所以设抛物线的解析式为 ya(x2)2k(a0)把(0，5)、(5
11、,0)分别代入上式得54ak09ak，解得a1k9，所以解析式为 y(x2)29.【变式练习】求二次函数解析式时，(1)若已知对称轴或顶点坐标，常设配方式 f(x)a(xm)2n(a0).(2)若已知 f(x)过三点，常设一般式 f(x)ax2bxc(a0).(3)若已知 f(x)与 x 轴两交点横坐标为 x1、x2，常设分解式 f(x)a(xx1)(xx2)(a0)【规律总结】例4 已知 2f(x1)x2x2，求 f(x).解：则令t=x+1,x=t-1 22f t=t-1+2 t-1+2=t+1 2f x=x+1适合：已知f(g(x)的解析式,求f(x).换元法 设 f（x）2x3，g（x
12、2）f（x），则 g（x）等于 （）A2x1 B2x1 C2x3 D2x7 解析：选 B.g（x）g（x22）f（x2）2（x2）32x1【变式练习】例5 已知，求 f(x).13()2()(0)f xfx xx13()2()113()2()f xfxxff xxx解：由 32()(0)55xf xxx解得 消元法 适合:同时含有 1f(x)f()f(x)f(x).x与，或与的表达式已知，求 3()2()f xfxx3()2()3()2()f xfxxfxf xx 解：由()f xx解得 消元法()f x【互动探究】函数的表示法 求解析式的方法：（1）待定系数法：函数类型已知时设出函数的一般式
13、，然后利用条件求待定系数（2）换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式（3）方程组法:根据已知条件构造方程组，进而求出函数解析式(1)用换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题 数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养 解析法 列表法 图象法 1.(2016浙江高考)设函数 f(x)=x3+3x2+1.已知 a0,且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,xR,则实数a=,b=.【解题关键】两边式子各自展开各个项的系数相等.1-2【解析】f(x)-f(a)=x3+3x2+1-a3-3a2-
14、1=x3+3x2-a3-3a2,(x-b)(x-a)2=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b,所以 22322ab3,a2ab0,a ba3a,解得 a2,b1.答案:-2 1 2.(2015全国卷)已知函数 f(x)=ax3-2x 的图象过点(-1,4),则 a=.【解题关键】将点(-1,4)代入到函数 f(x)=ax3-2x中求解.-2【解析】由 f(-1)=-a+2=4a=-2.答案：-2 3.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价y 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1.5 1.5 1.5 此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法表示？解：0.5,x1,2,3,y1,x4,5,6,1.5,x7,8,9.4.已知f（x+1）=2x2+1，则f（x-1）=_ 2x2-8x+9【解析】设x+1=t，则x=t-1，f（t）=2（t-1）2+1=2t2-4t+3，f（x-1）=2（x-1）2-4（x-1）+3=2x2-4x+2-4x+4+3=2x2-8x+9 5已知函数，分别由下表给出 则g(1)=，f g(1)=x 1 2 3 f(x)1 3 1 x 1 2 3 g(x)3 2 1 3 1 时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务.