1、11 变化率与导数1.1.1 变化率问题11.2 导数的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解导数概念的实际背景；2.会求函数在某一点附近的平均变化率；3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.强化数学概念完善逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 函数的平均变化率预习教材P23，思考并完成以下问题假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系，A 是出发点，H 是山顶爬山路线用函数 yf(x)表示自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的坐标为(x1，y
2、1)，点 B的坐标为(x2，y2)(1)若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？提示：自变量 x 的改变量为 x2x1，记作 x，函数的改变量为 y2y1，记作 y.(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？提示：对山路 AB 来说，用yxy2y1x2x1可近似地刻画其陡峭程度知识梳理 函数 yf(x)从 x1 到 x2的平均变化率(1)定义式：yxfx2fx1x2x1.(2)实质：的增量与的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数 yf(x)的图象上两点，则平均变化率
3、yxfx2fx1x2x1表示割线 P1P2 的函数值自变量斜率知识点二 瞬时速度预习教材P46，思考并完成以下问题1物体的路程 s 与时间 t 的关系是 s(t)5t2.试求物体在1,1t这段时间内的平均速度提示：s5(1t)2510t5(t)2，v st105t.2当 t 趋近于 0 时，思考 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当 t 趋近于 0 时，st趋近于 10，这时的平均速度即为当 t1 时的瞬时速度知识梳理 瞬时速度(1)物体在的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是 ss(t)，则物体在 t0 到 t0t 这段时间内的平均速度为stst0tst0t.如
4、果 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于某个常数 v，我们就说当t 趋近于 0 时，st的是 v，这时 v 就是物体在时刻 tt0 时的瞬时速度，即瞬时速度 vlimt0stlimt0st0tst0t.某一时刻极限知识点三 函数在某点处的导数知识梳理 一般地，函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是limx0yx，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作或，即 f(x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 x.limx0fx0 xfx0 xf(x0)y|xx0思考：1.函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率的大小与曲线 yf(x)在区间x1，x2上的“陡峭”程度有
5、什么关系？提示：平均变化率的绝对值越大，曲线 yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然2函数的平均变化率是固定不变的吗？提示：不一定，在平均变化率中，当 x1 取定值后，x 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当 x 取定值后，x1 取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同事实上，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，根据平均变化率的几何意义可知，函数的平均变化率一般情况下是不相同的3瞬时速度与平均速度有什么区别和联系？提示：区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关联系：瞬时速度是平均速度的趋近
6、值4如何理解 x0?提示：(1)“x0”的意义：|x0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有 x0.(2)当 x0 时，存在一个常数与fx0 xfx0 x无限接近自我检测1质点运动规律 st23，则在时间(3,3t)中，质点的平均速度等于()A6tB6t 9tC3tD9t解析：平均速度为 v 3t233233t36t.故选 A.答案：A2如果质点 M 按照规律 s3t2 运动，则在 t3 时的瞬时速度为()A6 B18 C54 D81解析：st33t2332t183t，slimt0stlimt0(183t)18.故选 B.答案：B3已知函数 f(x)1x，则 f(1)_.解析：f(1)limx
7、0f1xf1xlimx011x1xlimx011x1 1x12.答案：12 探究一 求函数的平均变化率例 1(1)已知函数 y3xx2 在 x02 处的增量为 x0.1，则yx的值为()A0.11B1.1C3.89D0.29(2)汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为 v1，v2，v3，则三者的大小关系为_(3)球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为_解析(1)yf(20.1)f(2)32.12.12640.11，yx1.1.(2)v1 kOA，v2 kAB，v3 kBC，由图象可知，kOAkABkBC.(
8、3)y43234313283，yx28321283.答案(1)B(2)v1 v2 v3 (3)283方法技巧 求函数 yf(x)从 x0 到 x 的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量 xxx0.(2)求函数的增量 yyy0f(x)f(x0)f(x0 x)f(x0)(3)求平均变化率yxfx0 xfx0 x.提醒：x，y 的值可正，可负，但 x0，y 可为零，若函数 f(x)为常值函数，则 y0.跟踪探究 1.一运动物体的运动路程 s(x)与时间 x 的函数关系为 s(x)x22x.(1)求运动物体从 2 到 2x 这段时间内的平均速度 v；(2)若 v 3，求 x；(3)若 v 5，求 x
9、的范围解析：(1)因为 s(2)22220，s(2x)(2x)22(2x)2x(x)2，所以 v s2xs22x22x.(2)由(1)，令2x3，解得 x1.(3)由(1)，令2x5，解得 x3.即 x 的范围为(，3)探究二 求瞬时速度例 2 如果某物体的运动路程 s 与时间 t 满足函数 s2(1t2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，求此物体在 1.2 s 末的瞬时速度解析 s21(1.2t)22(11.22)4.8t2(t)2，limt0stlimt0(4.82t)4.8，即 s|t1.24.8.故物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 4.8 m/s.延伸探究 1.试求该物体在 t
10、0 时的瞬时速度解析：s21(t0t)22(1t20)4tt02(t)2，s|tt0limt0stlimt0(4t02t)4t0.此物体在 t0 时的瞬时速度为 4t0 m/s.2物体在哪一时刻的瞬时速度为 12 m/s?解析：s|tt0limt0stlimt0(4t02t)4t0，由 4t012 得 t03，此物体在 3 s 时的瞬时速度为 12 m/s.方法技巧 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度 v st.(3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于常数 v，即为瞬时速度2求yx(当 x 无限趋近
11、于 0 时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算(2)求出yx的表达式后，x 无限趋近于 0，可令 x0，求出结果即可跟踪探究 2.已知自由下落物体的运动方程是 s12gt2(s 的单位是 m，t 的单位是 s)，求：(1)物体在 t0 到 t0t 这段时间内的平均速度；(2)物体在 t0 时的瞬时速度；(3)物体在 t02 s 到 t12.1 s 这段时间内的平均速度；(4)物体在 t2 s 时的瞬时速度解析：(1)平均速度为st12gt0t212gt20tgt012gt.(2)瞬时速度为limt0stlimt0 gt012gt gt0.(3)由(1)得物体在 t
12、02 s 到 t12.1 s 这段时间内的平均速度为 g212g0.14120g.(4)由(2)得物体在 t2 s 时的瞬时速度为 g22g.探究三 求函数在某点处的导数例 3 根据导数定义求函数 yx21x5 在 x2 处的导数解析 当 x2 时，y(2x)212x522125 4x(x)2x22x.所以yx4x142x.所以 y|x2limx0yxlimx0 4x142x401420154.延伸探究 本例中若已知该函数在 xa 处的导数为 0，试求 a 的值解析：当 xa 时，y(ax)21ax5a21a5 2ax(x)2xaax，所以yx2ax1a2ax，所以limx0yxlimx0 2
13、ax1a2ax 2a 1a2，所以 2a 1a20，a3 42.方法技巧 用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤(1)求函数值的改变量 yf(x0 x)f(x0)(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x.(3)取极限，得导数 f(x0)limx0yx.简记为一差、二比、三极限跟踪探究 3.已知函数 yf(x)2x24x.(1)求函数在 x3 处的导数；(2)若函数在 x0 处的导数是 12，求 x0的值解析：(1)y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x.所以yx2x216xx2x16，所以 y|x3limx0yxlimx0(2x16)16.(2)根据导数
14、的定义f(x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 xlimx02x0 x24x0 x2x204x0 xlimx04x0 x2x24xxlimx0(4x02x4)4x04，所以 f(x0)4x0412，解得 x02.课后小结(1)理解平均变化率要注意以下几点：平均变化率fx2fx1x2x1表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”为求点 x0 附近的平均变化率，上述表述式常写为fx0 xfx0 x的形式函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量 x 取值越小，越能准确体现函数的变化情况(2)利用导数定义求导数：取极限前，要注意化简yx，保证使 x0 时分母不为 0.函数在 x0 处的导数 f(x0)只与 x0有关，与 x 无关导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛素养培优对导数的定义理解不清致错设 f(x)为可导函数，且 f(2)12，则limh0f2hf2hh的值为()A1B1C.12D12易错分析：本题考查函数的定义f(x0)limx0fx0 xfx0 x，容易错误地认为limh0f2hf2h2hf(2)而丢分，考查学生的定义掌握，数学运算等学科素养自我纠正：limh0f2hf2hh2limh0f2hf2h2h2f(2)2121.答案：B04 课时 跟踪训练