1、第七章 不等式、推理与证明-2-7.1 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-4-知识梳理 双基自测 211.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应 边界直线,则把边界直线画成 .(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的
2、 即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.平面区域不包括 包括 实线相同符号-5-知识梳理 双基自测 21(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C0或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的 ;当B(Ax+By+C)0表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方.()(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m1B.m1C.m1 答案 解析 解析 关闭点(m,1)在不等式2x+3y-50
3、所表示的平面区域内,2m+3-50,即m1.答案 解析 关闭D-10-知识梳理 双基自测 234154.(2016 山西阳泉高三模拟)已知 P(x,y)为区域 2-2 0,0 内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x-y 的最大值是()A.6B.0C.2D.22 答案 答案 关闭A-11-知识梳理 双基自测 23415解析 由 2-2 0,0 作出可行域如图阴影部分,由图可得A(a,-a),B(a,a).由 SOAB=122aa=4,得 a=2.故 A(2,-2),目标函数 z=2x-y 可化为 y=2x-z,可知当直线 y=2x-z 经过 A 点时,z 最大,最大值为 22-(-2)
4、=6.故选 A.-12-知识梳理 双基自测 234155.若 x,y 满足约束条件-+1 0,+-3 0,-3 0,则 z=x-2y 的最小值为 .答案 解析 解析 关闭作出可行域如图阴影部分.由 z=x-2y,得 y=12x-12z,故当直线y=12x-12z 过点 A 时,-12z 最大,z 最小.由-+1=0,=3,得 A(3,4),所以 z 的最小值为 3-24=-5.答案 解析 关闭-5-13-考点1 考点2 考点3 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1(1)不等式组 0,+3 4,3+4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34(2)若不等式组
5、-0,2+2,0,+表示的平面区域是一个三角形,则 a的取值范围是()A.43,+B.(0,1C.1,43 D.(0,1 43,+思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?-14-考点1 考点2 考点3 答案:(1)C(2)D 解析:(1)不等式组所表示平面区域如图所示.解 +3=4,3+=4 得 A(1,1),易得 B(0,4),C 0,43,|BC|=4-43=83.故 SABC=12 831=43.(2)不等式组-0,2+2,0表示的平面区域如图(阴影部分),求得 A,B 两点的坐标分别为 23,23 和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则由图可知直线 x+y=a
6、 的 a 的取值范围是 00,k=-a0,则目标函数的斜率满足-akBC=-1,即 0a1,若 a0,则目标函数的斜率满足-akAC=2,即-2a0,综上-2a1.答案 解析 关闭B-23-考点1 考点2 考点3 考向三 求非线性目标函数的最值 A.4B.9C.10 D.12 思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?例 4(2016 山东,理 4)若变量 x,y 满足 +2,2-3 9,0,则 x2+y2的最大值是()答案 解析 解析 关闭如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点 P(x,y),则 x2+y2 的几何意义为|OP|2.显然,当 P 与 A 重合时,取得最大
7、值.由 +=2,2-3=9,解得 A(3,-1).所以 x2+y2 的最大值为 32+(-1)2=10.故选 C.答案 解析 关闭C-24-考点1 考点2 考点3 解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数
8、经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.-25-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)(2016 东北三省四市二模)已知实数 x,y 满足 1 +2,0,0,则 z=2x+y 的最大值为 .(2)(2017 河南南阳高三期末)已知实数 x,y 满足 2-+6 0,+0,2,若目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,则实数 m的取值范围是()A.-2,1B.-1,3C.-1,2D.2,3-26-考点1 考点2 考点3
9、(3)(2016 山西晋城高三期末)已知实数 x,y 满足约束条件 +1,-1,2-2,则目标函数 z=+2-5 的最大值为()A.3B.4C.-3D.-12(4)设实数 x,y 满足不等式组 +2,-2,1,则 x2+y2 的取值范围是()A.1,2B.1,4C.2,2D.2,4 答案 答案 关闭(1)4(2)C(3)D(4)B-27-考点1 考点2 考点3 解析(1)作出不等式组 1 +2,0,0对应的平面区域如图(阴影部分).由 z=2x+y 得 y=-2x+z.由图可知当直线 y=-2x+z 经过点 C 时,直线 y=-2x+z 的截距最大,此时 z 最大.由 +=2,=0,解得 C(
10、2,0).将C(2,0)代入目标函数z=2x+y,得z=22+0=4,即z=2x+y的最大值为4.-28-考点1 考点2 考点3(2)画出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分ABC),由目标函数z=-mx+y,可得y=mx+z.则直线y=mx+z的纵截距最大,即z最大,直线y=mx+z的纵截距最小,即z最小.目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,当目标函数经过点(2,10)时,取得最大值,当经过点(2,-2)时,取得最小值.-29-考点1 考点2 考点3 目标函数z=-mx+y的斜率m满足不比x+y=0的斜率小,不比2x-y+6=0的斜率大,即-1m2.(3)作出
11、约束条件所表示的平面区域,其中A(0,1),B(1,0),C(3,4).-30-考点1 考点2 考点3 目标函数 z=+2-5 表示过点 Q(5,-2)与点(x,y)的直线的斜率,且点(x,y)在ABC 平面区域内.显然过 B,Q 两点的直线的斜率 z 最大,最大值为0+21-5=-12,故选D.-31-考点1 考点2 考点3(4)如图所示,不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界),x2+y2表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是1,4.-32-考点1 考点2 考点3 考点
12、3 线性规划的实际应用 例5(2016全国乙卷,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.思考求解线性规划的实际问题要注意什么?答案:216 000-33-考点1 考点2 考点3 解析:设生产产品 A x 件,生产产品 B y 件,由题意得 1.5+0
13、.5 150,+0.3 90,5+3 600,N,即 3+300,10+3 900,5+3 600,N.目标函数 z=2 100 x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),-34-考点1 考点2 考点3 作直线 y=-73x,当直线过 5x+3y=600 与 10 x+3y=900 的交点时,z 取最大值,由 5+3=600,10+3=900,解得 =60,=100,所以 zmax=2 10060+900100=216 000.-35-考点1 考点2 考点3 解题心得求解线性规划的实际问题要注意两点:(1)设出未知数x,y,并写出问题中的约束条件和目标函数,注意约束
14、条件中的不等式是否含有等号;(2)判断所设未知数x,y的取值范围,分析x,y是否为整数、非负数等.-36-考点1 考点2 考点3 对点训练3某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,那么该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元 甲 乙 原料限额 A(吨)3 2 12 B(吨)1 2 8 答案 解析 解析 关闭设该企业每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,获利 z 元.则由题意知 3+2 12,+2 8,0,0,利润z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0 过点 B 时,目标函数取得最大值.由 3+2=12,+2=8,解得 =2,=3.故利润的最大值为 z=32+43=18(万元).故选 D.答案 解析 关闭D
