1、如何正确使用两个基本原理解题山东 李志勤 分类计数原理和分步计数原理是分析解决排列组合等问题、推导排列、组合公式的重要依据，其应用非常广泛、重要。学好这两个原理为后面知识的学习奠定基础。一、 正确区分两个原理1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题。区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。2、两个基本原理的区别在于前者分类加法计数原理每次得到的是最后结果；后者分步乘法计数原理每次得到的是中间
2、结果。表解如下： 加法原理 乘法原理 区别一 完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事，共分n不步骤，关键词是“分步” 区别二每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的、“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复例1、在由开关组A与B组成的并联电路中，如图，只合上一个开关来接通电源，要使电灯发光的方法有多少种？解：因为只要合上图中的任一开关，电
3、灯即发光，由于在开关组A中有2个开关开关组B中有3个开关，应用分类加法计数原理，所以共有235种接通电源使电灯发光的方法。例2、在由开关组A，B组成的串联电路中，如图，只合上两个开关以接通电路电源，要使电灯发光的方法有几种？解：只有在合上A组两个开关中的任意1个之后，再合上B组3个开关中的任意1个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光。根据分步乘法计数原理共有236种不同的方法接通电源，使电灯发光。点评：通过上面两道物理并联与串联的求解，对两个原理的理解从根本上理解。二、 应用两原理的关键1、对于分类加法计数原理的应用问题，需要来分类的问题时，一是要准确、透彻地理解题意；二是分类时，必须确定一个
4、分类标准，而分类标准的选择，则需要在仔细分析题意的基础上来确定。2、对于分步乘法计数原理的应用问题，需要我们自己确定一个分步的步骤，然后依照步骤进行操作即可。例3、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？解：利用三角形两边之和大于第三边的特性，逐类讨论。令两边长用x、y表示，且不妨设，要构成三角形，必须当y取11时，x1，2，3，11，可有11个三角形；当y取10时，x2，3，10，可有9个三角形；当y取6时，x6，可有1个三角形，所以所求三角形的个数为119753136个。例4、求4320的不同的正约数的个数。分析：因为，所以它的正约数（如15）的质因数必在2、3、5中（如3和5）
5、，但该质因数的指数的取法不同，以此作为分步依据即可。解：设4320的正约数为，则可取0、1、2、3、4、5；可取0、1、2、3；可取0、1；故所求的正约数的个数为64248个。点评：本题中没有给出如何寻找4320的正约数的步骤，需要我们自己来确定，那么如何构造这个分步步骤呢？本题解答是从它的一个具体正约数15入手分析，不难发现它的质因数为3和5，都在4320的质因数2、3、5中，即1535，由此推广到一般有：要确定4320的一个正约数，只需确定2、3、5的指数、即可，从而构建一个分步步骤。由此可见，要构建一个分步步骤，有时从特例入手分析，有利于我们寻找这个分步步骤。三、 善用几种常见方法解决两
6、原理综合性问题对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理来解决问题。解决这类问题，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”，后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序。此外，还需掌握列举法、树枝图法、排序法、模型法来准确求解综合性问题。例5、三人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？解：如图所示：第一个空与第二个空不能是甲，分三类讨论：（1）若第二个空是甲，则第一个空有2种选择方法，第三个空有2种选择方法，第四个空仅有1种选择方法，所以224种方法；（2）若第三个空是甲，同上，有224种方法；（3）若第二个、第三个空都不填甲，则仅有如下两种传球方法：甲乙丙乙丙甲；甲丙乙丙乙甲.所以共有44210种方法。 点评：在这里以空“”来构造模型，从而使看不见摸不着的动态传球问题变得形象直观起来。