1、1.21.3任意角的三角函数、三角函数的诱导公式教材解读北京 祁俊磊 【温故知新】三角函数的定义是本章最基本的概念，在初中锐角三角函数定义的基础上，利用直角坐标平面内的单位圆定义了任意角的三角函数，三角函数线实现了数形的统一，体现了数形结合的思想.运用同角三角函数的基本关系式来化简、求值、证明等，具有很强的规律性.诱导公式的学习过程中，要挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性。【答疑解惑】1.理解任意角三角函数的定义时需注意什么？答：（1）任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围（自变量取值）是全体实数.（2）一个任意角的三角函数值只依赖于的大小，而与点在终边上的位置无关.（3）正弦、
2、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.（4）不是与的乘积，而是一个比值；三角函数记号是一个整体，离开自变量的“”、“”等是没有意义的.2三角函数的定义域及符号是如何确定的？答：（1）三角函数的定义域是在函数自变量为弧度制时所得到的.对于正切函数的定义域可写成.（2）三角函数值的符号由定义域可知是由的符号确定的，应特别熟记三角函数值的符号.3.同角三角函数的基本关系式如何运用？答：根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值（可以简称“知一求二”），步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值，若已知正弦和余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；
3、若已知正切或余切，则构造方程组求解.4.诱导公式的推导和记忆有诀窍吗？答：（1）各组诱导公式中为任意角.（2）在推导过程中，通过对称思想研究了对称点的坐标关系，从而得到诱导公式.（3）（4）诱导公式中，函数名称不变，符号看象限（把看作锐角看等号左边各角所在象限）.5怎么活用诱导公式？答：步骤如下： 任意负角的三角函数任意负角的三角函数利用诱导公式三或一 到的角的三角函数锐角三角函数利用诱导公式一 利用公式二或四或五或六常把上述过程称为：“负化正，大化小，化到锐角再查表”，充分体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想.【难点探究】三角函数线应用原理揭密规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称有向
4、线段,如以为起点,为终边的线段记为.三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,不能颠倒书写顺序.如图，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴的交点分别为，与轴的交点分别为. (1) (2)设角的顶点在圆心，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点（如图（1），过点作垂直轴于，则点是点在轴上的正射影（简称射影）.由三角函数的定义可知，点的坐标为，即.其中，.这就是说,角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点(如图(2),则.我们把轴上向量叫做的余弦线、正弦线和正切线.当角的终边在轴上时,点与点重合,点与点重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为零,而余弦线或.当角的终边在轴上时,正弦线或,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在.总结拓展:下图是各象限内三角函数线的情况:分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.
