1、详解与示例平面向量数量积的有关概念山东 胡彬 一.两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。二.平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意:数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC中，则_（答：9）；（2）已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；（3）已知，则等于_（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）三.向量在向量上的投影:为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）四.的几何意义：
2、数量积等于的模与在上的投影的积。五.向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：(1)；(2)当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，为锐角可以推出,但不一定可以推出为锐角；当为钝角时，0，且不反向，为钝角可以推出,但不一定可以推出为钝角; (3)非零向量，夹角的计算公式：；。如已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且）；已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（答：）；已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：；最小值为，）六.两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？(1)在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.(2)已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.(3)在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.七.向量平行(共线)的充要条件：0。如(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；（3）设，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）.八、向量垂直的充要条件： .特别地。如(1)已知，若，则 （答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，则的坐标是_ （答：）.
