1、高考资源网（） 您身边的高考专家1函数与方程1.1利用函数性质判断方程解的存在内容标准学科素养1.了解函数的零点与方程的根的关系2.会判断函数零点的存在性3.初步理解函数与方程思想.精确数学概念加强数形结合恰当等价转化授课提示：对应学生用书第66页基础认识知识点一函数的零点结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由提示：不一定因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点如：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点知识梳理函数的零点(1)定义：对于
2、函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几何意义：函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标就是函数yf(x)的零点(3)结论：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点知识点二函数零点存在性的判断结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？提示：法一：利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点法二：利用函数yf(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数法三：结合函数的单调性，若函数在区间a，b上的图像是一条连续不断的曲线，利用f(a)f(b)0，结合单调性可判定yf(x)在(a，b)上零点的
3、个数法四：转化成两个函数图像的交点问题知识梳理函数零点的判定如果函数yf(x)在a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根思考：1.函数的零点是“点”吗？提示：函数yf(x)的零点是使f(x)0的实数x，它不是点，而是个实数从图像上分析，零点是相应函数与x轴交点的横坐标2f(x)，f(1)10，f(1)10，所以f(x)在(1,1)上存在零点对吗？为什么？提示：不对因为f(x)的图像在(1,1)上不连续，是间断的，不符合零点存在的条件3若f(x)在a，b上是连续不断的函
4、数，且f(a)f(b)0，则该函数在a，b上一定不存在零点吗？提示：不一定如f(x)x2，x1,1，显然f(1)f(1)10，但该函数在1,1上存在零点0.自我检测1已知函数yf(x)有零点，下列说法不正确的是()Af(0)0B方程f(x)0有实根C函数f(x)的图像与x轴有交点D函数f(x)的零点是方程f(x)0的根解析：函数yf(x)有零点方程f(x)0有实根函数f(x)的图像与x轴有交点，且函数f(x)的零点即是方程f(x)0的根故B、C、D都正确；A不正确，因为f(0)不一定为0.答案：A2下列图像表示的函数中没有零点的是()解析：B、C、D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图
5、像与x轴没有交点，故函数没有零点答案：A3函数f(x)x22xa没有零点，则a的取值范围是_解析：由题意44a0，a1.答案：(1，)授课提示：对应学生用书第67页探究一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：(1)f(x)8x27x1；(2)f(x)1log3x；(3)f(x)4x16；(4)f(x).思路点拨可通过解方程f(x)0求得函数的零点解析(1)令8x27x10，解得x或x1.所以函数的零点为x和x1.(2)令1log3x0，则log3x1，解得x.所以函数的零点为x.(3)令4x160，则4x42，解得x2.所以函数的零点为x2.(4)因为f(x)，令0，
6、解得x6.所以函数的零点为x6. 方法技巧因为函数f(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：一是代数法：令f(x)0，通过解方程f(x)0的根求得函数的零点；二是几何法：画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪探究1.已知函数f(x)x23(m1)xn的零点是1和2，求函数ylogn(mx1)的零点解析：由题意知f(x)x23(m1)xn的两个零点为1和2，则1和2是方程x23(m1)xn0的两个实根所以有解得所以函数ylogn(mx1)的解析式为ylog2(2x1)令log2(2x1)0
7、，得x0.所以函数ylog2(2x1)的零点为0.探究二判断函数零点的个数例2求函数f(x)ln(x1)0.01x的零点的个数思路点拨解答本题可利用函数零点的存在性定理或采用数形结合的方法解析法一：因为f(3)ln 20.030，f(1.5)ln 20.0150，所以f(3)f(1.5)0，说明函数f(x)ln(x1)0.01x在区间(1.5,3)内有零点又因为yln(x1)与y0.01x在(1，)上都是增函数，所以该函数只有一个零点法二：令ln(x1)0.01x0，则ln(x1)0.01x.在同一坐标系下，作出y1ln(x1)和y20.01x的图像，如图，易看出它们有一个交点，所以f(x)有
8、一个零点延伸探究在本例中若把解析式改为“f(x)2xlg(x1)2”，试判断该函数零点的个数解析：法一：f(0)10210，f(2)4lg 320，f(x)在(0,2)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点法二：令2xlg(x1)20，则lg(x1)22x，在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图像知g(x)lg(x1)的图像和h(x)22x的图像有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点方法技巧判断函数yf(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程f(x)0，方程实根的个数就是函数零点个数；(
9、2)当方程f(x)0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(3)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图像，则两图像交点的个数就是函数yf(x)零点的个数跟踪探究2.判断函数f(x)x3ln x的零点个数解析：法一：令f(x)x3ln x0，则ln x3x.在同一平面直角坐标系内分别画出函数yln x与yx3的图像，如图所示由图可知函数yln x与yx3的图像只有一个交点，即函数f(x)x3ln x只有一个零点法二：因为f(3)ln 30，f(2)1ln 2ln0，所以f(3)f(2)
10、0，说明函数f(x)x3ln x在区间(2,3)内有零点又f(x)x3ln x在(0，)上是增函数，所以原函数只有一个零点探究三判断函数零点所在区间例3方程2x的解所在的区间为()A. B. C. D.解析令f(x)2x.f(x)2x，且f(1)2110，f20，f(1)f0.f(x)在区间内存在零点答案B方法技巧1.关于函数零点所在区间(1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像(2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)
11、在(a，b)上不一定没有零点2关于二次函数的零点分布(1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：与0的关系；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向(2)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.根的分布图像等价条件x1x2kkx1x2x1kx2f(k)0x1，x2(k1，k2)x1，x2(x1x2)中有且仅有一个在(k1，k2)内f(k1)f(k2)0或f(k1)0，k1或f(k2)0，k2跟踪探究3.关于x的方程x22ax40的两根均大于1，求实数a的取值范围解析：
12、法一：(应用求根公式)方程x22ax40的两根为xa，要使两根均大于1，只需较小根a1即可解得2a.即实数a的取值范围是.法二：(应用根与系数的关系)设x1，x2为方程x22ax40的两根，则有x1x22a，x1x24.要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，则需满足将代入上述不等式组，解得2a.即实数a的取值范围是.法三：(应用二次函数的图像)设f(x)x22ax4，图像如图所示由图可知解得2a.即实数a的取值范围是.4关于x的方程ax22(a1)xa10，求a为何值时：(1)函数f(x)ax22(a1)xa1有且仅有一个零点；(2)方程的一根大于1，一根小于1.解析：(1)当a0
13、时，方程变为2x10，即x，符合题意；当a0时，方程为一元二次方程，由题意知方程有两个相等的实数根，所以12a40.解得a.综上可知，当a0或a时，函数f(x)ax22(a1)xa1有且仅有一个零点(2)因为方程有一根大于1，一根小于1，所以图像大致如图所示令f(x)ax22(a1)xa1.所以必须满足或解得a0.故当a0时，方程一根大于1，一根小于1.授课提示：对应学生用书第68页课后小结1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交
14、点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础 素养培优忽略函数零点存在定理的使用条件致误易错案例：函数f(x)x的零点个数为()A0 B1C2 D3易错分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域通过作图(图略)，可知函数f(x)x的图像不是连续不断的，而零点存在定理不能在包含间断点的区间内使用自我纠正：函数f(x)的定义域为x|xR，且x0当x0时，f(x)0，f(x)0无实根当x0时，f(x)0，f(x)0无实根综上，函数f(x)没有零点答案：A- 8 - 版权所有高考资源网