1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.5平面直角坐标系中的距离公式考纲定位重难突破1.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式2.能根据平面图形建立适当的平面直角坐标系3.会用距离公式和解析法解决几何问题.重点：根据图形建立坐标系，利用距离公式解决几何问题难点：利用距离公式解决实际问题方法：数形结合思想在距离问题中的应用.授课提示：对应学生用书第44页自主梳理一、两点间的距离公式一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式|AB| .二、点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为零)的距离d.双基自测1点(6,8)到原
2、点的距离为()A6 B8C10 D14解析：由两点间的距离公式得d10.答案：C2已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)和C，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D斜三角形解析：|AB|2，|BC|1，|AC|，|AB|2|BC|2|AC|2，ABC为直角三角形答案：C3已知点A(2，1)，B(a,3)且|AB|5，则a的值为_解析：由两点间距离公式，得5，解得a1或a5.答案：1或54若x轴正半轴上的点M到原点的距离与到点(5,3)的距离相等，则点M的坐标为_解析：设M(x,0)，则x202(x5)2(03)2，解得x，M.答案：5已知点A(3,4)，B(2，
3、)，在x轴上找一点P使得|PA|PB|，并求出|PA|的值解析：设P(x,0)，则有|PA|；|PB| ；由|PA|PB|，可得 ；解得x，从而得P，且|PA|.授课提示：对应学生用书第45页探究一两点间距离公式的应用典例1已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，AB的中点M.(1)试判断ABC的形状；(2)求AB边上的中线CM的长解析(1)|AB|，|AC|，|BC|3，因为|AB|AC|BC|，所以ABC为等腰三角形(2)由题易得AB边上的中线CM的长为|CM|.1已知两点的坐标求两点间的距离时，要注意距离公式的正确应用，被开方式是两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和，不能将横、纵坐
4、标混用2判断平面图形的形状时，可以利用边长的关系，也可以利用角的关系，同时要注意合理运用相关图形的一些性质1已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|5，求直线l2的方程解析：点B在直线l1上，设B(x0,62x0)|AB|5，5，整理，得x6x050，解得x01或5.点B的坐标为(1,4)或(5，4)直线l2的方程为x1或3x4y10.探究二用解析法证明几何问题典例2用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点求证：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.解析分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，
5、0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)则|AM|2|CM|2x2y2(xa)2(yb)2，|BM|2|DM|2(xa)2y2x2(yb)2.|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.1解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系2重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系2已知AO是ABC边BC的中线求证：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(a,0)
6、，C(a,0)，A(x，y)由两点间距离公式得|AB|2(xa)2y2，|AC|2(xa)2y2，|AB|2|AC|22x22y22a2.|AO|2x2y2，|OC|2a2，|AO|2|OC|2x2y2a2，|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)探究三点到直线的距离公式典例3求点P0(1,2)到下列直线的距离(1)2xy100；(2)x2；(3)y10.解析(1)由点到直线的距离公式知d2.(2)解法一直线方程化为一般式x20.由点到直线的距离公式知d3.解法二直线x2与y轴平行，由图知d|12|3.(3)直线y10与x轴平行由图知d|21|1.使用点到直线的距离公式时应注意的事项：(
7、1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此公式仍然适用(3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而直接求出，如：点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|；点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|；点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离d|y0a|；点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离d|x0b|. 3求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)l1：yx3；(2)l2：y1；(3)y轴解析：(1)将直线方程化为一般式为xy30，由点到直线的距离公式得d2.(2)解法一直线方程化为一般式为y10，由点
8、到直线的距离公式得d3.解法二如图(1)，因为y1平行于x轴，所以d|12|3.(3)解法一y轴的方程为x0，由点到直线的距离公式得d1.解法二如图(2)，d|10|1.探究四两平行线间的距离典例4(1)求直线l1：24x10y50与l2：12x5y40之间的距离；(2)求与直线3x4y200平行且距离为3的直线的方程解析(1)直线l1的方程可化为12x5y0，因此l1与l2之间的距离d.(2)设所求直线方程为3x4yC0(C20)，依题意有3，即|C20|15，解得C5或C35，故所求直线的方程为3x4y50或3x4y350.1求两条平行直线间距离的两种方法：(1)转化为点到直线的距离，即在
9、其中一条直线上取一特殊点，利用点到直线的距离公式求该点到另一条直线的距离(2)直接使用两条平行线间的距离公式，但应注意两个直线方程中x，y的系数分别对应相等(即A1A2，B1B2)；若不相等，应化为相等，再使用其中l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.2一般地，与已知直线l距离为d(d0)的直线有两条，且都与l平行求其方程时，可利用平行直线系方程的设法，设出其方程，再利用两条平行直线的距离公式求解；与两条平行直线l1，l2距离相等的直线只有一条，且与l1，l2均平行，求其方程时，也是利用平行直线系方程的设法设出方程，然后求解4直线l1过点A(0,1)，直线l2过点B(5,0)，如
10、果l1l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1、l2的方程解析：当l1，l2的斜率均存在时，l1l2，设直线l1，l2的斜率均为k.由斜截式得l1的方程为ykx1，即kxy10，由点斜式得l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0，故两平行线l1与l2间的距离d5，解得k，l1的方程为12x5y50，l2的方程为12x5y600.当l1，l2的斜率均不存在时，l1的方程为x0，l2的方程为x5，此时，l1与l2间的距离为5，同样满足条件综上所述，满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600；l1：x0，l2：x5.转化与化归思想在求最值中的应用典例已知ABC的顶点坐
11、标为A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1m4.当m为何值时，ABC的面积S最大？解析|AC|，直线AC的方程为，即x3y20.因为点B(m，)到直线AC的距离d，所以ABC的面积S|AC|d|m32|.因为1m4，所以12，所以0，0S.所以当，即m时，ABC的面积S最大感悟提高(1)此题要求ABC面积的最大值，可转化成点B到AC的距离的最大值(2)在解题过程中将所得到的式子进行转化，利用函数的思想把问题转化成二次函数求得最值随堂训练对应学生用书第46页1若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为()A4B2C4或2 D4或2解析：由已知得|AB|5，因此|1m|
12、3，解得m4或m2.答案：D2点(1，1)到直线xy10的距离是()A. B.C. D.解析：d.答案：C3直线1与3x2y270之间的距离为_解析：直线1可化为3x2y120，因此所求距离d3.答案：34若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则的值为_解析：由题意得，a4，c2，则6xayc0可化为3x2y0，由两平行线间的距离公式得，解得c2或6，1或1.答案：15已知AO是ABC中BC边上的中线，证明|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)证明：如图，以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系设A(b，c)，B(a,0)，C(a,0)由两点间的距离公式，得|AB|2|AC|2(ba)2c2(ba)2c22(a2b2c2)，|AO|2|OC|2b2c2a2，所以|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)- 8 - 版权所有高考资源网