1、专项综合全练（二） 求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1.(2019上海虹口二模)已知一个二次函数的图象经过A(0,-1)、B(1,5)、C(-1,-3)三点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)用配方法把这个函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式.2.(2019福建龙岩上杭月考)已知二次函数的图象经过点(0,3)、(-3,0)、(2,-5).(1)试确定此二次函数的解析式;(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.3.(2019上海闵行一模)已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).(
2、1)求抛物线的表达式;(2)设点D是抛物线上一点,且点D的横坐标为-2,求AOD的面积.类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4.(2019山东德州宁津育新中学月考)对称轴平行于y轴的抛物线的顶点坐标为(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么该抛物线的解析式是()A.y=-2x2+8x+3B.y=-2x2-8x+3C.y=-2x2+8x-5D.y=-2x2-8x+25.(2019江苏南京秦淮一模)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:x-10123y105212(1)求该函数的表达式;(2)当y5时,x的取值范围是.6.(2019浙江杭州上城期中)已知二次函数
3、图象的顶点坐标为(2,-2),且经过点(3,1),求此二次函数的解析式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.类型三利用“交点式”求二次函数解析式7.(2019天津河北期中)如图22-5-1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(4,0),C(0,3)三点,求抛物线的解析式.图22-5-18.(2019湖北潜江江汉油田油建学校期中)已知关于x的二次函数的图象与x轴交于(-1,0),(3,0)两点,且图象过点(0,3).(1)求这个二次函数的解析式;(2)写出它的开口方向、对称轴.9.(2019山东临沂临沭青云中学月考)已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(-3,0),C(
4、0,-3).(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)图22-5-2类型四利用“平移规律”求二次函数解析式10.(2019江苏盐城中考)如图22-5-3,将函数y=12(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()图22-5-3A.y=12(x-2)2-2B.y=12(x-2)2+7C.y=12(x-2)2-5D.y=12(x-2)2+411.(2019黑龙江绥化中考)将抛物线y=3(
5、x-4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解析式是.12.(2019山东临沂蒙阴一模)如图22-5-4,抛物线y=x2沿直线y=x向上平移2个单位后,顶点在直线y=x上的M处,则平移后抛物线的解析式为.图22-5-413.(2019陕西模拟)如图22-5-5,OAB的OA边在x轴上,其中B点坐标为(3,4)且OB=BA.(1)求经过A,B,O三点的抛物线的解析式;(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设点A,B的对应点分别为点A,B,若四边形ABBA为菱形,求平移后的抛物线的解析式.图22-5-5专项综合全练（二） 求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解
6、析式1.(2019上海虹口二模)已知一个二次函数的图象经过A(0,-1)、B(1,5)、C(-1,-3)三点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)用配方法把这个函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式.解析(1)设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),根据题意得c=-1,a+b+c=5,a-b+c=-3,解得a=2,b=4,c=-1,所以这个二次函数的解析式为y=2x2+4x-1.(2)y=2x2+4x-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3.2.(2019福建龙岩上杭月考)已知二次函数的图象经过点(0,3)、(-3,0)、(2,-5).(1)试确定此二次函数的
7、解析式;(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.解析(1)设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(0,3)、(-3,0)、(2,-5)代入y=ax2+bx+c,得c=3,9a-3b+c=0,4a+2b+c=-5,解得a=-1,b=-2,c=3,此二次函数的解析式是y=-x2-2x+3.(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2(-2)+3=3,点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.3.(2019上海闵行一模)已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).(1)求抛物线的表达式;(2)设点D是抛物线上一点,
8、且点D的横坐标为-2,求AOD的面积.解析(1)把A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c得9a+3b+c=0,4a+2b+c=-3,c=-3,解得a=1,b=-2,c=-3,该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5,即D(-2,5),A(3,0),OA=3,SAOD=1235=152.类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4.(2019山东德州宁津育新中学月考)对称轴平行于y轴的抛物线的顶点坐标为(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么该抛物线的解析式是()A.y=-2x2+8x+3B.y=-2x2-8x+3C.y=-2x2+
9、8x-5D.y=-2x2-8x+2答案C根据题意,设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3(a0),因为该抛物线经过点(3,1),所以a+3=1,a=-2.所以抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3=-2x2+8x-5.故选C.5.(2019江苏南京秦淮一模)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:x-10123y105212(1)求该函数的表达式;(2)当y5时,x的取值范围是.解析(1)由题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,1),设函数的表达式为y=a(x-2)2+1.由题意得函数的图象经过点(0,5),所以5=a(-2)2+1.
10、所以a=1.所以函数的表达式为y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).(2)由所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2,(0,5)和(4,5)均在该函数图象上.当y5时,对应的x的范围为0x4,故答案为0x4.6.(2019浙江杭州上城期中)已知二次函数图象的顶点坐标为(2,-2),且经过点(3,1),求此二次函数的解析式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.解析根据题意,可设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-2(a0),把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,得a(3-2)2-2=1,解得a=3,所以二次函数的解析式为y=3(x-2)2-2.当x=0时,y=34-2=10,所以该函数
11、图象与y轴的交点坐标为(0,10).类型三利用“交点式”求二次函数解析式7.(2019天津河北期中)如图22-5-1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(4,0),C(0,3)三点,求抛物线的解析式.图22-5-1解析根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4)(a0),把C(0,3)代入得a(-1)(-4)=3,解得a=34,所以抛物线的解析式为y=34(x-1)(x-4),即y=34x2-154x+3.8.(2019湖北潜江江汉油田油建学校期中)已知关于x的二次函数的图象与x轴交于(-1,0),(3,0)两点,且图象过点(0,3).(1)求这个二次函数的解析式;(2
12、)写出它的开口方向、对称轴.解析(1)二次函数的图象交x轴于(-1,0),(3,0)两点,设该二次函数的解析式为y=a(x-3)(x+1)(a0).将(0,3)代入,得3=a(0-3)(0+1),解得a=-1,抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),即y=-x2+2x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,这个函数的图象的开口向下,对称轴为直线x=1.9.(2019山东临沂临沭青云中学月考)已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3).(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过
13、程)图22-5-2解析(1)根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3)(a0),把C(0,-3)代入得a(-1)3=-3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.(2)A(1,0),B(-3,0),AB=4.设P(m,n),ABP的面积为6,12AB|n|=6,解得n=3,当n=3时,m2+2m-3=3,解得m=-1+7或-1-7,P(-1+7,3)或P(-1-7,3).当n=-3时,m2+2m-3=-3,解得m=0或m=-2,P(0,-3)或P(-2,-3).故P(-1+7,3)或P(-1-7,3)或P(0,-3)或P(-2,-3).类型
14、四利用“平移规律”求二次函数解析式10.(2019江苏盐城中考)如图22-5-3,将函数y=12(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()图22-5-3A.y=12(x-2)2-2B.y=12(x-2)2+7C.y=12(x-2)2-5D.y=12(x-2)2+4答案D如图,连接AB、AB,则S阴影=S四边形ABBA.由平移可知,AA=BB,AABB,四边形ABBA是平行四边形.分别延长AA、BB交x轴于点M、N.A(1,m)、B(4,n),MN=
15、4-1=3.SABBA=AAMN,9=3AA,解得AA=3,即原函数图象沿y轴向上平移了3个单位,新图象的函数表达式为y=12(x-2)2+4.11.(2019黑龙江绥化中考)将抛物线y=3(x-4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解析式是.答案y=3(x-5)2-1解析y=3(x-4)2+2的顶点坐标为(4,2),将其向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度所得点的坐标为(5,-1),所以平移后抛物线的解析式为y=3(x-5)2-1.12.(2019山东临沂蒙阴一模)如图22-5-4,抛物线y=x2沿直线y=x向上平移2个单位后,顶点在直线y=x上的M处
16、,则平移后抛物线的解析式为.图22-5-4答案y=(x-1)2+1解析抛物线y=x2沿直线y=x向上平移2个单位后,顶点在直线y=x上的M处,则平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.13.(2019陕西模拟)如图22-5-5,OAB的OA边在x轴上,其中B点坐标为(3,4)且OB=BA.(1)求经过A,B,O三点的抛物线的解析式;(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设点A,B的对应点分别为点A,B,若四边形ABBA为菱形,求平移后的抛物线的解析式.图22-5-5解析(1)B点坐标为(3,4)且OB=BA,A(6,0).设所求抛物线的解析式为y=ax(x-6),将(3,4)代入,可得4=-9a,a=-49,y=-49x(x-6)=-49x2+83x.(2)B点坐标为(3,4),OB=BA,A(6,0),BA=32+42=5.四边形ABBA为菱形,BB=BA=5.若抛物线沿x轴向右平移,则B(8,4),平移后抛物线的解析式为y=-49(x-8)2+4;若抛物线沿x轴向左平移,则B(-2,4),平移后抛物线的解析式为y=-49(x+2)2+4.第 9 页