1、3函数的单调性(一)内容标准学科素养1.理解函数单调区间、单调性等概念2.会划分函数的单调区间，判断单调性3.会用定义证明函数的单调性.精确数学概念提高逻辑推理增强直观想象授课提示：对应学生用书第25页基础认识知识点一增函数和减函数如图，观察函数yx2的图像，回答下列问题：(1)当x0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？提示：增大(2)如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1x2时，y1，y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？提示：y1y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律如41，但(4)212.(3)如何用数学符号语言来描述y轴右侧
2、的图像变化规律？提示：在区间(0，)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)x，f(x2)x，当x1x2时，有f(x1)f(x2) 知识梳理增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数区间D称为函数f(x)的单调递增区间那么就说函数f(x)在区间D上是减函数区间D称为函数f(x)的单调递减区间图像特征函数f(x)在区间D上的图像是上升的函数f(x)在区间D上的图像是下降的图示知识点二函数的单调区间与单调性(1)若函数f
3、(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的减区间能写成D1D2吗？提示：单调区间不能取并集，如y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减(2)任何函数在定义域上都具有单调性吗？提示：函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质有的函数不具有单调性，例如：函数y再如：函数yx1(xZ)，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性知识梳理函数的单调区间与单调性(1)如果yf(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间(2)定义：如果函数yf(x)在定义域的某个
4、子集上是增加的或减少的，那么就称yf(x)在这个子集上具有单调性如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数思考：1.把增(减)函数定义中的“任意两个自变量x1，x2”换成“存在两个自变量x1，x2”还能判断函数是增(减)函数吗？提示：不能如在函数yx2中32，且f(3)f(2)，但yx2在3,2上不是减函数2把增(减)函数定义中的“某个区间D”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？提示：不能如y，其定义域为(，0)(0，)，当x1(，0)，x2(0，)时，尽管x1x2，f(x1)f(x2)，但y不是增函数 自我检测1下列说法正确的是()
5、A定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1I2上也一定为增函数D若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1x2解析：A，B项都忽略了x1，x2的任意性；C项中f(x)在I1I2上不一定为增函数；对于D项，由增函数的定义可知其正确答案：D2设f(x)(2a1)xb在R上是减函数，
6、则有()Aa Ba Ca Da解析：f(x)在R上是减函数，故2a10，即a.答案：D3函数y|x|的增区间是_，减区间是_解析：函数y|x|的图像如图所示：由图可知，该函数的增区间为0，)，减区间为(，0)答案：0，)(，0)授课提示：对应学生用书第26页探究一利用图像确定函数单调区间例1求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数(1)y3x2；(2)y；(3)yx22x3.思路点拨解析(1)函数y3x2的单调区间为R，其在R上是增函数(2)函数y的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)及(0，)上均为增函数(3)函数yx22x3的对称轴为x1，并且开口向下，其单调增区间
7、为(，1，单调减区间为(1，)，其在(，1上是增函数，在(1，)上是减函数延伸探究把(3)变成“yx22|x|3”先画出图像，再指明其单调区间，并写出它的值域解析：去掉绝对值符号，把函数式化简后再考虑求单调区间yx22|x|3根据解析式可作出函数图像如图函数的定义域为R，由图像可知，(，1)和0,1)是这个函数的递增区间，1,0)和1，)是这个函数的递减区间由函数的图像知，当x1或1时，这个函数取得最大值，最大值为4，所以它的值域为(，4方法技巧1.本题中求函数单调区间的方法是图像法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间求出单调区间后，若单调区间不唯一
8、，中间用“，”隔开2一次、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数ykxb的单调性由参数k决定：当k0时，该函数在R上是增函数；当k0时，该函数在R上是减函数(2)反比例函数y(k0)的单调性如下表所示：k的符号单调区间k0在(，0)，(0，)上单调递减k0在(，0)，(0，)上单调递增(3)二次函数yax2bxc(a0)的单调性以对称轴x为分界线.a0在上单调递增，在上单调递减a0在上单调递减，在上单调递增跟踪探究1.画出函数y|x|(x2)的图像，并指出函数的单调区间解析：y|x|(x2)函数的图像如图所示：由函数的图像知，函数的单调递增区间为(，0和1，)，单调递减区间为(0,1)探
9、究二证明函数的单调性例2求证：函数f(x)x在(0,1)上为减函数思路点拨在(0,1)上任取x1，x2，且x1x2，只需证明f(x1)f(x2)即可证明设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在(0,1)上是减函数延伸探究判断并证明本例中函数f(x)在1，)上的单调性解析：函数f(x)x在1，)上是增函数，证明如下：任取x1，x21，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).1x1x2，x1x20，x1x210，x1
10、x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在1，)上是增函数. 方法技巧利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：(1)因式分解当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解如f(x)x22x3(x3)(x1)(2)通分当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解(3)配方当所得的差式含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号(4)分子有理化当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化跟踪探究2.判断函数y的单调性，并用定义加以证明解析：函数y的定义域为x|x1，设x1，x2是(1，)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(
11、x2).x11，x21，(x11)(x21)0，又x2x1，x2x10，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)故f(x)在(1，)上是减函数同理可证f(x)在(，1)上也是减函数探究三函数单调性的应用例3函数yax2bx3在(，1上是增函数，在1，)上是减函数，则()Ab0且a0 Bb2a0Cb2a0 Da，b的符号不确定思路点拨解析(1)当a0时，当b0，则y3，是常函数，不具有单调性；当b0，则函数ybx3在R上为增函数或为减函数即a0时，不合题意(2)当a0时，则函数yax2bx3为二次函数，要使函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数只需即b2a0.答案B方法技巧1.利用函数
12、的单调性可以比较函数值或自变量的大小在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上2(1)若f(x)在区间D上是增函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)f(x2)x1x2；f(x1)f(x2)x1x2.(2)若f(x)在区间D上是减函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)f(x2)x1x2；f(x1)f(x2)x1x2.3当抽象函数的不等式或函数式很复杂时，要注意考虑函数单调性的应用跟踪探究3.已知函数f(x)在区间(0，)上是单调递减的，试比较f(a2a1)与f的大小解析：a2a12，与a2a1都是区间(0，)上的值f(
13、x)在区间(0，)上是单调递减的，ff(a2a1).授课提示：对应学生用书第28页课后小结1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若
14、一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性2单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2D且x1x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号3单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图像法：作出函数的图像，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断
15、：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”素养培优对“单调区间是”和“在区间上单调”理解错误易错案例：已知函数f(x)x22(a1)x2.(1)若函数f(x)的单调递减区间是(，4，则实数a的值(或取值范围)是_(2)若函数f(x)在区间(，4上单调递减，则实数a的值(或取值范围)是_易错分析：函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集如果颠倒了这两种说法的含义，就会导致出错考查精确概念、逻辑推理的学科素养自我纠正：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(，4，且函数f(x)图像的对称轴为直线x1a，所以有1a4，即a3.故应填3.(2)因为函数f(x)在区间(，4上单调递减，且函数f(x)图像的对称轴为直线x1a，所以1a4，即a3.故应填(，3.