1、4二次函数性质的再研究内容标准学科素养1.理解yax2与ya(xb)2k(a0)及yax2bxc的图像之间的关系2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴3.能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值.提升逻辑推理发挥直观想象恰当分类讨论授课提示：对应学生用书第31页基础认识知识点一二次函数的定义(1)函数yx22x2的图像的顶点坐标是_(2)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_提示：(1)(1，3)(2)f(x)x22x1知识梳理二次函数的定义形如yax2bxc(a0)的函数叫做二次函数，其中a、b、
2、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项解析式yax2bxc(a0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式；顶点式：ya(xh)2k(a0)；零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式知识点二二次函数的图像变换(1)yx2和y2(x1)23的图像之间有什么关系？提示：yx2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y2x2的图像；再把y2x2的图像向左平移1个单位，再向上移3个单位，得y2(x1)23的图像(2)函数y3x2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平
3、移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是_提示：y3x25x2知识梳理二次函数的图像变换(1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式ya(xh)2k(a0)，再由二次函数yx2的图像经过下列的变换得到：将函数yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数yax2的图像将函数yax2的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位得到ya(xh)2的图像将函数ya(xh)2的图像向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得到ya(xh)2k的图像(2)一般地，二次函数ya(xh)2k(a0)，a决定了二次函数图像的开口大小和方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右
4、移”，k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”知识点三二次函数的图像和性质(1)函数y2x1在1,2上的最大值是()A3 B4C5 D1(2)函数f(x)x24x3，x1,4的最小值为_提示：(1)C(2)1知识梳理二次函数的图像和性质a0a0图像定义域xR值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减图像特点对称轴：x；顶点：自我检测1二次函数y(x3)(x1)的对称轴是()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2解析：函数与x轴两个交点的横坐标分别是1和3，则函数的对称轴为x2.答案：D2二次函数yx24xt的顶点在x轴上，则t的值是()A4 B4 C2 D2解析：函数图像开口向下
5、，其最大值为0，即0，得t4.答案：A3已知函数yx24x6，当x1,4时，则函数的最大值为_解析：yx24x6(x2)22，函数yx24x6在1,2上递减，在2,4上递增又当x1时，y3；当x4时，y6，函数的最大值为6.答案：6授课提示：对应学生用书第32页探究一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，求二次函数的解析式思路点拨可以考虑从二次函数的三种形式着手解决，注意各种形式中的要素参数解析法一利用二次函数的一般式设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二利用二次函数的两根式由已知f
6、(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1(a0)又函数有最大值8，所以8.解得a4.故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法三利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，即m.又f(x)的最大值为8，n8.f(x)a28.f(2)1，a281，解得a4.f(x)4284x24x7.故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.方法技巧求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解(1)一般式：yax2bxc(a，b，c为常数，且
7、a0)当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解(2)顶点式：ya(xh)2k(a，h，k为常数，且a0)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，且a0)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式跟踪探究1.已知二次函数yax2bxc同时满足下列条件：二次函数图像的对称轴是直线x1；最值是15；图像与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15a，则b的值是_解析：由题知解得或又b24ac0，舍去故b4.答案：4探究二二次函数的性质例2(1
8、)如果函数f(x)x2bxc关于x2对称，那么()Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)f(1)(2)函数yx2bxc在区间(，1)上单调递减，则b的取值范围是()A(，2 B2，)C(2，) D(，2)思路点拨严格按二次函数的性质解题解析(1)函数f(x)开口向上，所以距离对称轴越远的点，其函数值越大，即f(2)f(1)f(4)，选项A正确(2)函数的递减区间是，由题知(，1)，所以1，所以b2，选项A正确答案(1)A(2)A方法技巧1.对称轴是二次函数的一个重要性质，一般地函数关于xa对称，有以下几种等价说法：(1)f(ax)f
9、(ax)f(x)关于xa对称；(2)f(x)f(2ax)f(x)关于xa对称；(3)f(mx)f(nx)(其中mn2a)f(x)关于xa对称2二次函数的单调性取决于两点：(1)图像的开口方向；(2)对称轴的位置在解题时可借助图像进行分析跟踪探究2.(1)二次函数f(x)x2ax对任意xR，总有f(1x)f(1x)，则实数a_.(2)已知函数f(x)x2(a1)x1在1,1上为单调函数，则实数a的取值范围是_解析：(1)由题知，函数yf(x)的图像关于x1对称，所以1，即a2.(2)函数f(x)开口向上，在上单调递减，在上单调递增由题知，1或1，解得a1或a3.答案：(1)2(2)(，31，)探
10、究三闭区间上二次函数的最值例3已知函数f(x)x24x4.若函数定义域为3,4，求函数的最值解析f(x)(x2)28开口向上，对称轴为x2，所以当x3,4时，f(x)为增函数，最小值为f(3)7，最大值为f(4)4.延伸探究1.(变换条件)例3中将定义域“3,4”改为“3,4”，其他条件不变，求f(x)的最值解析：f(x)(x2)28在3,2上是减函数，在2,4上是增函数，所以最小值为f(2)8.又因为f(3)17，f(4)4.所以最大值为17.2(变换条件、改变问法)将本例变为：已知函数f(x)，若对任意的x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解析：f(x)0对x1，)恒成立，等价
11、于x22xa0对x1，)恒成立设yx22xa，x1，)，则y(x1)2a1在1，)上是增函数，从而ymin3a.于是当且仅当ymin3a0，即a3时，f(x)0对x1，)恒成立，故实数a的取值范围是(3，)方法技巧求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值的类型(1)若对称轴x在区间m，n内，则最小值为f，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若m，则f(x)在m，n上是增函数，最大值为f(n)，最小值为f(m)(3)若n，则f(x)在m，n上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n)跟踪探究3.已知函数f(x)x
12、23x.(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若x1,4，求函数值域解析：f(x)(x26x)(x3)2(1)顶点坐标，对称轴x3，最小值，无最大值(2)若x1,4，则f(x)在1,3递减，3,4递增所以f(x)minf(3)，f(x)maxf(1).故函数值域为.授课提示：对应学生用书第33页课后小结1画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向2二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称
13、轴上取到3解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论4对于二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在区间p，q上的最值问题可作如下讨论：(1)对称轴xh在区间p，q的左侧，则当hp时，f(x)maxf(q)，f(x)min
14、f(p)(2)对称轴xh在区间p，q之间，即当phq时，f(x)minf(h)k.当ph时，f(x)maxf(q)；当h时，f(x)maxf(p)f(q)；当hq时，f(x)maxf(p)(3)对称轴xh在区间p，q的右侧，即当hq时，f(x)maxf(p)，f(x)minf(q)当a0时，可类似得到结论素养培优数形结合、分类讨论思想在求二次函数闭区间上的最值中的应用典型案例：求函数yx22ax1在0,2上的最值解析：y(xa)21a2.当a0时，0,2是函数的递增区间(如图(1)故函数在x0时取得最小值1，在x2时取得最大值34a.当0a1时，结合函数图像(如图(2)知，函数在xa时取得最小值a21，在x2时取得最大值34a.当1a2时，结合图像(如图(3)知，函数在xa时取得最小值a21，在x0时取得最大值1.当a2时，0,2是函数的递减区间(如图(4)函数在x0时取得最大值1，在x2时取得最小值34a.点评：探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究特别要注意二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种：(1)对称轴在所给区间右侧；(2)对称轴在所给区间左侧；(3)对称轴在所给区间内考查数形结合、分类讨论的学科素养.