1、23.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义思考已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|6；(2)6.梳理把平面内与两个定点F1，F2距离的_等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做_，_叫做双曲线的焦距知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OBb吗？梳理焦点在x轴上焦点在
2、y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c，c2a2b2类型一求双曲线的标准方程例1求下列双曲线的标准方程：(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P(3，)，Q(，5)，且焦点在坐标轴上反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0)与双曲线1(a0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b
3、2ka2)(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值(4)结论：写出双曲线的标准方程跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程：(1)c，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，2)和点Q(2，2)；(3)已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)类型二由方程判断曲线的形状例2已知00，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，ABm，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_引申探究在本例(2)中，若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为
4、_反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a；利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值；利用公式PF1PF2sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1PF2|2a的变形使用，特别是与PFPF，PF1PF2间的关系跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左，右焦点，点P在C上，F1PF260，则PF1PF2_.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例4已
5、知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上跟踪训练4设F1，F2是双曲线1的左，右焦点，P是双曲线左支上一点若PF1、PF2、F1F2成等差列，且公差大于0，则F1PF2_.1已知双曲线中的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a_.3若方程1表示双曲线，则k的取值范围是_4设F1，F
6、2分别是双曲线x21的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积为_5求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)；(3)以椭圆1长轴的顶点为焦点，且过(3，)1在双曲线定义中|PF1PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解提醒：完成作
7、业第2章2.32.3.1答案精析问题导学知识点一思考(1)|表示点P(x，y)到两定点F1(5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，F1F210，|PF1PF2|6F1F2，故点P的轨迹是双曲线(2)表示点P(x，y)到两定点F1(4,0)、F2(4，0)的距离之差，F1F28，PF1PF260，b0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为1.方法二由椭圆方程1知，焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625)因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的标准方程为1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又
8、2c26，所以c13，所以b2c2a225.所以双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为1.由题意，知解得双曲线的标准方程为1.例2解(1)当090时，方程为1.当045时，0，方程表示焦点在y轴上的椭圆当45时，方程表示圆x2y2.当450，方程表示焦点在x轴上的椭圆(2)当90时，方程为y21.方程表示两条平行直线y1.(3)当90180时，方程为1，方程表示焦点在y轴上的双曲线跟踪训练2解(1)当曲线为椭圆时，依题意得解得m0，解得0m0，b0)则有a2b2c28.因为过点(3，)，所以1，解得a23，b25.所以所求双曲线的标准方程为1.